文章目錄

• 問題描述
• 思路
• 代碼實現

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問題描述

有 1~N 個數字，從 1~m 依次報數，數到 m 的數字要被刪掉，求最后剩下的數字是？

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思路

第一次報數第二次報數

1	n-m+1
2	n-m+2
…	…
m-2	n-2
m-1	n-1
m	被刪掉了
m+1	1
m+2	2
…	…
n-1	n-1-m
n	n-m

通過上面的表格，我們可以發現這樣的規律：

將某數字第一次報數設為 first ，第二次報數設為 second 。那么存在這樣的關系：$first=(second+m?1)\%n+1$（公式一）

為什么不是 $first=(second+m)\%n$ （公式二）呢？其實一開始我確實總結出來的是公式二，但是發現有個漏洞，數字編號是從 1 開始的，而公式二的編號是從 0 開始的，具體來說，就是當 second = n-m 時，first = 0 。可以看到并不符合實際，first=n 才對。換言之，也就是如果我們從 0 開始計數，那么公式二是可用的，如何從 0 開始計數呢？ 答案就是把數字序列存到數組里嘛~

因此，將公式二可以進化為 $first=(second+m)\%n+1$（公式三），但是簡單的為公式二的結果 +1 ，就導致在公式二中，本來只有 second = n-m 結果不符合實際，而在公式三中，變成了只有 second = n-m 的結果符合實際，原本沒問題的都變得有問題了……這是因為我們沒有做到加減均衡，只有 +1，而沒有 -1 。因此公式一應運而生~

那么我們可以得到這樣的規律：

$當n>1時，f(n)=(f(n?1)+m?1)\%n+1$
$當n=1時，f(1)=1$

解釋一下就是，剩最后一個數的時候直接返回最后一次報數為 1 的數，反之則需要繼續刪除一個數。

而當 n-1=1 時，f(n) 也就意味著，最后一次報數為 1 的數，倒數第二次報數的時候它報的是幾。

那么對于 f(n-1) 的調用也就意味著，本次報數為 n 的數，下一次報數為幾。

說到這里已經很清楚了，顯而易見的遞歸思想。

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代碼實現

int m; int yuesefu(int n){if(n == 1) return 1; // 最后一次報數為 1，開始回溯return (yuesefu(n-1) + m - 1) % n + 1; // f(n-1)==1的時候開始回溯，求最后一次報數為 1 的數，第一次報數為幾？ }// 還可以再簡化 int m; int yuesefu(int n){return n == 1 ? 1 : (yuesefu(n-1) + m - 1) % n + 1; }// 如果將數字序列存入數組中，則可用公式二 int m; int yuesefu(int n){return n == 0 ? 0 : (yuesefu(n-1) + m) % n; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的约瑟夫环（丢手绢问题）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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