前言

極值與最值是很不容易弄清楚的兩個(gè)概念。

相關(guān)概念

極值是在函數(shù)的定義域內(nèi)的某一個(gè)自變量的取值(x_0)的小鄰域[定義域的某個(gè)小區(qū)間]內(nèi)，(f(x_0))和這個(gè)小鄰域內(nèi)其他的函數(shù)值相比較，他是龍頭老大(或老小)；最值是函數(shù)在自己的定義域內(nèi)的來說，是龍頭老大(或老小)，故極值不會在某個(gè)區(qū)間的端點(diǎn)處取到，而最值有可能在區(qū)間的端點(diǎn)處取到。

說到極值和最值，都是針對函數(shù)值(y)而言；說到極值點(diǎn)或者最值點(diǎn)，都是針對函數(shù)的自變量(x)而言；且極值點(diǎn)和最值點(diǎn)都不是點(diǎn)，而是實(shí)數(shù)。

函數(shù)的極大值和極小值之間沒有必然聯(lián)系，即極大值不一定比極小值大；

對于可導(dǎo)函數(shù)(f(x))而言，(x_0)成為函數(shù)(f(x))的極值點(diǎn)的必要條件是(f'(x_0)=0)，其充要條件是(f'(x_0)=0)且導(dǎo)函數(shù)(f'(x))在(x_0)的兩側(cè)的函數(shù)值異號，簡單的說，其充要條件是(x_0)是導(dǎo)函數(shù)(f'(x))的變號零點(diǎn)。

函數(shù)在極值點(diǎn)處不一定可導(dǎo)，比如函數(shù)(f(x)=|x|)，(x=0)是其極值點(diǎn)，但函數(shù)在(x=0)處不可導(dǎo)。

函數(shù)的最大值不一定是極大值，也可能是端點(diǎn)值；函數(shù)的最小值不一定是極小值，也可能是端點(diǎn)值；

充要條件

例1在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，對可導(dǎo)函數(shù)(f(x))而言，(f'(x)>0(f'(x)<0))是函數(shù)(f(x))在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增(減)的充分不必要條件。

分析：說明不必要性，比如函數(shù)(y=x^3)在((-infty,+infty))上單調(diào)遞增，但是卻有(f'(x)ge 0)，故必要性不成立。

例2在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，對可導(dǎo)函數(shù)(f(x))而言，(f'(x)ge 0(f'(x)leq 0))是函數(shù)(f(x))在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增(減)的必要不充分條件。

比如常函數(shù)(f(x)=c(c為常數(shù)))，滿足(f'(x)ge0)，但是沒有單調(diào)性，故充分性不成立；

若函數(shù)(f(x))單調(diào)遞增，則必有(f'(x)ge 0)，故必要性成立。

例3在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，對可導(dǎo)函數(shù)(f(x))而言，“(f'(x)ge 0(f'(x)leq 0))且在此區(qū)間的任意一個(gè)子區(qū)間內(nèi)導(dǎo)函數(shù)都不恒為零”是函數(shù)(f(x))在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增(減)的充要條件。

說明：①在此區(qū)間的任意一個(gè)子區(qū)間內(nèi)導(dǎo)函數(shù)都不恒為零，就排除了函數(shù)為常函數(shù)的可能；②已知函數(shù)的單調(diào)性[如單調(diào)遞增]求參數(shù)的取值范圍類問題中，如果我們令(f'(x)>0)恒成立，則會漏掉參數(shù)的取值，若令(f'(x)geqslant 0)恒成立，則會多出參數(shù)的取值，所以最后求得參數(shù)的取值范圍后常常需要驗(yàn)證等號的情形，以防止為常函數(shù)。

例4命題(p)為真命題，(f(x)=cfrac{1-2m}{x})在區(qū)間((0，+infty))上單調(diào)遞減，求(m)的取值范圍是________。

分析：圖像法，由題目可知，若(p)為真，則(1-2m>0)，解得(m<cfrac{1}{2})(依托(y=cfrac{1}{x})的單調(diào)性)；

導(dǎo)數(shù)法：由(f(x)=cfrac{1-2m}{x})在區(qū)間((0，+infty))上單調(diào)遞減，則有

(f'(x)=-(1-2m)cfrac{1}{x^2}leq 0)在區(qū)間((0，+infty))上恒成立，

即(2m-1leq 0)，即(mleq cfrac{1}{2})，這個(gè)結(jié)果是錯(cuò)誤的，

原因是缺少驗(yàn)證，當(dāng)(m=cfrac{1}{2})時(shí)， 函數(shù)(f(x)=0)為常函數(shù)，

不符合題意，故舍去，即(m<cfrac{1}{2})。

解后反思：本題目利用函數(shù)(f(x))的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍時(shí)，既可以利用單調(diào)性的性質(zhì)，也可以利用導(dǎo)數(shù)法，但是導(dǎo)數(shù)法很容易出錯(cuò)。

例5在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，對函數(shù)(f(x))而言，(f'(x_0)=0)是(x_0)為極值點(diǎn)的既不充分也不必要條件。

分析：比如函數(shù)(f(x)=x^3)，在(R)上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)，而(f'(x)=3x^2)，(f'(0)=0)，

但是很遺憾(x=0)不是極值點(diǎn)，應(yīng)該是駐點(diǎn)和拐點(diǎn)，故充分性不成立；

若(x_0)為函數(shù)的極值點(diǎn)，也不能推出(f'(x_0)=0)，因?yàn)楹瘮?shù)的極值點(diǎn)有可能就不可導(dǎo)，

比如函數(shù)(f(x)=|x|)，(x=0)是其極值點(diǎn)，但是函數(shù)在這一點(diǎn)(尖角點(diǎn))并不可導(dǎo)。

例6在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，對可導(dǎo)函數(shù)(f(x))而言，(f'(x_0)=0)是(x_0)為極值點(diǎn)的必要不充分條件。

說明：此時(shí)由于函數(shù)是可導(dǎo)函數(shù)，就排除了函數(shù)在(x_0)處不可導(dǎo)的情形，

故(x_0)為函數(shù)的極值點(diǎn)，能推出(f'(x_0)=0)，必要性成立。

例2(2017鄭州模擬)已知函數(shù)(f(x)=x^3+ax^2+bx-a^2-7a)在(x=1)處取得極大值(10)，則(cfrac{a}{b})的值為____________.

分析：(f'(x)=3x^2+2ax+b)，由(egin{cases}f'(1)=0\f(1)=10end{cases})，

得到(egin{cases}3+2a+b=0\1+a+b-a^2-7a=10end{cases})，

解得(egin{cases}a=-2\b=1end{cases})，或(egin{cases}a=-6\b=9end{cases})，

當(dāng)(a=-2，b=1)時(shí)，(f'(x)=(3x-1)(x-1))，

此時(shí)(x=1)是導(dǎo)函數(shù)(f'(x))的變號零點(diǎn)，但是在(x=1)處取到極小值，不符舍去；

當(dāng)(a=-6，b=9)時(shí)，(f'(x)=3(x-1)(x-3))，

此時(shí)(x=1)是導(dǎo)函數(shù)(f'(x))的變號零點(diǎn)，且在(x=1)處能取到極大值。

故(cfrac{a}{b}=-cfrac{2}{3})。

反思總結(jié)：由方程組解出來的根(x=x_0)，只能說明這一點(diǎn)的函數(shù)值是0，并不能說明這一點(diǎn)(x_0)處的左右的函數(shù)值的正負(fù)，有可能是不變號零點(diǎn)，那么這一點(diǎn)不會成為極值點(diǎn)，也有可能是變號零點(diǎn)，但是左右的正負(fù)值不符合。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的极值与最值概念的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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