子圖同構定義：

給定圖$Q=(V(Q),E(Q),L_V,F)$和$G=(V(G),E(G),L_V',F')$, 稱$Q$子圖同構于$G$ 當且僅當存在一個映射$g:V(Q)ightarrow V(G)$ 使得

[forall xin V(Q), F(v)=F'(g(v))]

和

[
forall v_1 ,v_2 in V(Q),overrightarrow {v_1 v_2 } in E(Q) Rightarrow overrightarrow {g(v_1 )g(v_2 )} in E(G)
]

例，左圖子圖同構與右圖：

左圖 Q 右圖 G

圖 1

因為存在映射g（有兩種），如下圖所示：

左圖 Q 右圖 G 左圖 Q 右圖 G

圖 2 圖 3

用$MA,MB$分別表示圖$Q,F$的對應的邊矩陣，其中$MA[i][j]=1$表示頂點$v_i$與$v_j$有邊，$MA[i][j]=0$表示無邊. $M'$表示映射g從$Q$到$G$的映射矩陣，$M'[i][j]=1$表示$Q$中第$i$個頂點$v_i$對應到$G$中的第$j$個頂點$v_j^'$，否則沒有對應.

例如，圖2中的$Q,G,g$對應的矩陣可以表示為

圖 4

定理1 如果圖$Q$關于映射$g$子圖同構于$G$，令

[
MC = M'(M' cdot MB)^T
].

，則

[
forall iforall j:(MA[i][j] = 1) Rightarrow (MC[i][j] = 1).
]

根據圖4，$MC = M'(M' cdot MB)^T$，由于

這里顯然，$MA$與$MC$滿足定理1.

子圖同構映射$g$的$M’$滿足一下性質：

$M'[i][j]=1$ 表示Q中第$i$-個頂點對應$G$中的第$j$個頂點；
$M'$的每行僅有一個$1$;
$M'$的每列$1$的個數至多只有一個。

子圖同構就變成了尋找矩陣$M'$，那么如何尋找$M'$？1976年Ullmann給出了尋找算法（Ullmann Algorithm）.

Ullmann Algorithm的大致過程：

尋找矩陣$M'_{n imes m}$使得[MC = M'(M' cdot MB)^T , forall iforall j:(MA[i][j] = 1) Rightarrow (MC[i][j] = 1).]
否則，報告不存在矩陣$M'$.

Ullmann Algorithm的基本思想：

Step 1. 建立矩陣$M_{n imes m}$。 使得$M[i][j]=1$，如果

Q中第$i$-個頂點與$G$中第$j$-個頂點有相同的標簽；
Q中第$i$-個頂點的度小于等于$G$中第$j$-個頂點的度；

Step 2. 從矩陣$M_{n imes m}$生成矩陣$M'$. 即對$M_{n imes m}$進行逐行檢查，將部分不為0的元素變成0，使得矩陣$M'$滿足每行有且僅有一個元素為1,每列最多只有一個元素不為0.（最大深度為$|MA|$.）

Step 3 按照以下規則判斷矩陣$M'$是否滿足條件：

[MC = M'(M' cdot MB)^T , forall iforall j:(MA[i][j] = 1) Rightarrow (MC[i][j] = 1).]

Step 4 迭代以上步驟，列出所有可能的矩陣$M'$.

以上最壞的情況是，可能有$O(|MB|!)$個可能的矩陣$M'$. 實際上，子圖同構算法是一個經典的NP-hard問題。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的子图同构的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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