如何尋找無(wú)序數(shù)組中的第K大元素？

有這樣一個(gè)算法題：有一個(gè)無(wú)序數(shù)組，要求找出數(shù)組中的第K大元素。比如給定的無(wú)序數(shù)組如下所示：

如果k=6，也就是要尋找第6大的元素，很顯然，數(shù)組中第一大元素是24，第二大元素是20，第三大元素是17...... 第六大元素是9。

方法一：排序法

這是最容易想到的方法，先把無(wú)序數(shù)組從大到小進(jìn)行排序，排序后的第k個(gè)元素自然就是數(shù)組中的第k大元素。但是這種方法的時(shí)間復(fù)雜度是O(nlogn),性能有些差。

方法二：插入法

維護(hù)一個(gè)長(zhǎng)度為k的數(shù)組A的有序數(shù)組，用于存儲(chǔ)已知的K個(gè)較大的元素。然后遍歷無(wú)序數(shù)組，每遍歷到一個(gè)元素，和數(shù)組A中的最小元素進(jìn)行比較，如果小于等于數(shù)組A中的最小元素，繼續(xù)遍歷;如果大于數(shù)組A中的最小元素，則插入到數(shù)組A中，并把曾經(jīng)的最小元素"擠出去"。

比如K=3，先把最左側(cè)的7,5,15三個(gè)數(shù)有序放入到數(shù)組A中，代表當(dāng)前最大的三個(gè)數(shù)。

此時(shí)，遍歷到3時(shí)，由于3<5,繼續(xù)遍歷。

接下來(lái)遍歷到17，由于17>5,插入到數(shù)組A的合適位置，類似于插入排序，并把原先最小的元素5“擠出去”。

繼續(xù)遍歷原數(shù)組，一直遍歷到數(shù)組的最后一個(gè)元素......

最終，數(shù)組A中存儲(chǔ)的元素是24,20,17，代表著整個(gè)數(shù)組的最大的3個(gè)元素。此時(shí)數(shù)組A中的最小元素17就是我們要尋找的第K大元素。

這個(gè)方法的時(shí)間復(fù)雜度是O(nk)，但是如果K的值比較大的話，其性能可能還不如方法一。

小頂堆法

二叉堆是一種特殊的完全二叉樹(shù)，它包含大頂堆和小頂堆兩種形式。其中小頂堆的特點(diǎn)是每一個(gè)父節(jié)點(diǎn)都小于等于自己的兩個(gè)子節(jié)點(diǎn)。要解決這個(gè)算法題，我們可以利用小頂堆的特性。

維護(hù)一個(gè)容量為K的小頂堆，堆中的K個(gè)節(jié)點(diǎn)代表著當(dāng)前最大的K個(gè)元素，而堆頂顯然是這K個(gè)元素中的最小值。
遍歷原數(shù)組，每遍歷一個(gè)元素，就和堆頂比較，如果當(dāng)前元素小于等于堆頂，則繼續(xù)遍歷;如果元素大于堆頂，則把當(dāng)前元素放在堆頂位置，并調(diào)整二叉堆（下沉操作）。
遍歷結(jié)束后，堆頂就是數(shù)組的最大K個(gè)元素中的最小值，也就是第K大元素。

假設(shè)K=5，具體操作步驟如下：

1.把數(shù)組的前K個(gè)元素構(gòu)建成堆

2.繼續(xù)遍歷數(shù)組，和堆頂比較，如果小于等于堆頂，則繼續(xù)遍歷;如果大于堆頂，則取代堆頂元素并調(diào)整堆。

遍歷到元素2，由于2<3，所以繼續(xù)遍歷。

遍歷到元素20，由于20>3,20取代堆頂位置，并調(diào)整堆。

遍歷到元素24，由于24>5,24取代堆頂位置，并調(diào)整堆。

以此類推，我們一個(gè)一個(gè)遍歷元素，當(dāng)遍歷到最后一個(gè)元素8時(shí)，小頂堆的情況如下：

3.此時(shí)的堆頂，就是堆中的最小元素，也就是數(shù)組中的第K大元素。

這個(gè)方法的時(shí)間復(fù)雜度是多少呢？

1.構(gòu)建堆的時(shí)間復(fù)雜度是O(K)
2.遍歷剩余數(shù)組的時(shí)間復(fù)雜度O(n-K)
3.每次調(diào)整堆的時(shí)間復(fù)雜度是O(logk)
其中2和3是嵌套關(guān)系，1和2,3是并列關(guān)系，所以總的最壞時(shí)間復(fù)雜度是O((n-k)logk + k)。當(dāng)k遠(yuǎn)小于n的情況下，也可以近似地認(rèn)為是O(nlogk)。

這個(gè)方法的空間復(fù)雜度是多少呢？
剛才我們?cè)谠敿?xì)步驟中把二叉堆單獨(dú)拿出來(lái)演示，是為了便于理解。但如果允許改變?cè)瓟?shù)組的話，我們可以把數(shù)組的前K個(gè)元素“原地交換”來(lái)構(gòu)建成二叉堆，這樣就免去了開(kāi)辟額外的存儲(chǔ)空間。因此空間復(fù)雜度是O(1)。

代碼如下：

/*** 尋找第k大元素* @param array 待調(diào)整的數(shù)組* @param k 第幾大* @return*/public static int findNumberK(int[] array, int k) {//1.用前k個(gè)元素構(gòu)建小頂堆buildHeap(array, k);//2.繼續(xù)遍歷數(shù)組，和堆頂比較for (int i = k; i < array.length; i++) {if(array[i] > array[0]) {array[0] = array[i];downAdjust(array, 0, k);}}//3.返回堆頂元素return array[0];}private static void buildHeap(int[] array, int length) {//從最后一個(gè)非葉子節(jié)點(diǎn)開(kāi)始，依次下沉調(diào)整for (int i = (length - 2) / 2; i >= 0; i--) {downAdjust(array, i, length);}}/*** 下沉調(diào)整* @param array 待調(diào)整的堆* @param index 要下沉的節(jié)點(diǎn)* @param length 堆的有效大小*/private static void downAdjust(int[] array, int index, int length) {//temp保存父節(jié)點(diǎn)的值，用于最后的賦值int temp = array[index];int childIndex = 2 * index + 1;while (childIndex < length) {//如果有右孩子，且右孩子小于左孩子的值，則定位到右孩子if (childIndex + 1 < length && array[childIndex + 1] < array[childIndex]) {childIndex++;}//如果父節(jié)點(diǎn)小于任何一個(gè)孩子的值，直接跳出if (temp <= array[childIndex])break;//無(wú)需真正交換，單項(xiàng)賦值即可array[index] = array[childIndex];index = childIndex;childIndex = 2 * childIndex + 1;}array[index] = temp;}public static void main(String[] args) {int[] array = new int[] {7, 5, 15, 3, 17, 2, 20, 24, 1, 9, 12, 8};System.out.println(findNumberK(array, 5));}

方法四：分治法

大家都了解快速排序，快速排序利用分治法，每一次把數(shù)組分成較大和較小元素兩部分。我們?cè)趯ふ业贙大元素的時(shí)候，也可以利用這個(gè)思路，以某個(gè)元素A為基準(zhǔn)，把大于A的元素都交換到數(shù)組左邊，小于A的元素交換到數(shù)組右邊。

比如我們選擇以元素7作為基準(zhǔn)，把數(shù)組分成了左側(cè)較大，右側(cè)較小的兩個(gè)區(qū)域，交換結(jié)果如下：

包括元素7在內(nèi)的較大元素有8個(gè)，但我們的K=5，顯然較大元素的數(shù)目過(guò)多了。于是我們?cè)谳^大元素的區(qū)域繼續(xù)分治，這次以元素12為基準(zhǔn)：

這樣一來(lái)，包括元素12在內(nèi)的較大元素有5個(gè)，正好和K相等。所以，基準(zhǔn)元素12就是我們所求的。

這就是分治法的思想，這種方法的時(shí)間復(fù)雜度甚至優(yōu)于小頂堆法，可以達(dá)到O(n)。

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/kyoner/p/10465633.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的如何寻找无序数组中的第K大元素？的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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