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題目

原文：

Given an infinite number of quarters (25 cents), dimes (10 cents), nickels (5 cents) and pennies (1 cent), write code to calculate the number of ways of representing n cents.

譯文：

我們有25分，10分，5分和1分的硬幣無限個。寫一個函數計算組成n分的方式有幾種？

解答

一開始，我覺得使用遞歸不斷地累加四種幣值的硬幣，當累加到n分，組成方式就加1。 最后就能得到一共有多少種組合方式，聽起來挺正確的，然后寫了以下代碼：

int cnt = 0;
void sumn(int sum, int n){
    if(sum >= n){
        if(sum == n) ++cnt;
        return;
    }
    else{
        sumn(sum+25, n);
        sumn(sum+10, n);
        sumn(sum+5, n);
        sumn(sum+1, n);
    }
}

但，這是錯誤的。問題出在哪？有序與無序的區別！這個函數計算出來的組合是有序的， 也就是它會認為1,5和5,1是不一樣的，導致計算出的組合里有大量是重復的。 那要怎么避免這個問題？1,5和5,1雖然會被視為不一樣，但如果它們是排好序的， 比如都按從大到小排序，那么就都是5,1了，這時就不會重復累計組合數量。 可是我們總不能求出答案來后再搞個排序吧，多費勁。這時我們就可以在遞歸上做個手腳， 讓它在計算的過程中就按照從大到小的幣值來組合。比如， 現在我拿了一個25分的硬幣，那下一次可以取的幣值就是25,10,5,1；如果我拿了一個 10分的，下一次可以取的幣值就只有10,5,1了；這樣一來，就能保證，同樣的組合， 我只累計了一次，改造后的代碼如下：

int cnt = 0;
void sumN(int sum, int c, int n){
    if(sum >= n){
        if(sum == n) ++cnt;
        return;
    }
    else{
        if(c >= 25)
            sumN(sum+25, 25, n);
        if(c >= 10)
            sumN(sum+10, 10, n);
        if(c >= 5)
            sumN(sum+5, 5, n);
        if(c >= 1)
            sumN(sum+1, 1, n);
    }
}

有個全局變量總覺得看起來不好看，于是我們可以把這個全局變量去掉， 讓函數來返回這個組合數目，代碼如下：

int sum_n(int sum, int c, int n){
    int ways = 0;
    if(sum <= n){
        if(sum == n) return 1;
        if(c >= 25)
            ways += sum_n(sum+25, 25, n);
        if(c >= 10)
            ways += sum_n(sum+10, 10, n);
        if(c >= 5)
            ways += sum_n(sum+5, 5, n);
        if(c >= 1)
            ways += sum_n(sum+1, 1, n);
    }
    return ways;
}

CTCI原文中給出的解法如下：

int make_change(int n, int denom){
    int next_denom = 0;
    switch(denom){
    case 25:
        next_denom = 10;
        break;
    case 10:
        next_denom = 5;
        break;
    case 5:
        next_denom = 1;
        break;
    case 1:
        return 1;
    }
    int ways = 0;
    for(int i=0; i*denom<=n; ++i)
        ways += make_change(n-i*denom, next_denom);
    return ways;
}

也是從幣值大的硬幣開始，每次取i個(i乘以幣值要小于等于n)， 然后接著去取幣值比它小的硬幣，這時就是它的一個子問題了，遞歸調用。 具體來怎么來理解這個事呢？這樣，比如我要湊100分，那我先從25分開始， 我先取0個25分，然后遞歸調用去湊100分；再然后我取1個25分，然后遞歸調用去湊100-25 =75分；接著我取2個25分，遞歸調用去湊100-25*2=50分……這些取了若干個 25分然后再去遞歸調用，取的就是10分了。一直這樣操作下去，我們就會得到， 由若干個25，若干個10分，若干個5分和若干個1分組成的100分，而且， 這里面每種幣值的數量都可以為0。

完整代碼如下：

#include <iostream>
using namespace std;

int cnt = 0;
void sumN(int sum, int c, int n){
    if(sum >= n){
        if(sum == n) ++cnt;
        return;
    }
    else{
        if(c >= 25)
            sumN(sum+25, 25, n);
        if(c >= 10)
            sumN(sum+10, 10, n);
        if(c >= 5)
            sumN(sum+5, 5, n);
        if(c >= 1)
            sumN(sum+1, 1, n);
    }
}
int sum_n(int sum, int c, int n){
    int ways = 0;
    if(sum <= n){
        if(sum == n) return 1;
        if(c >= 25)
            ways += sum_n(sum+25, 25, n);
        if(c >= 10)
            ways += sum_n(sum+10, 10, n);
        if(c >= 5)
            ways += sum_n(sum+5, 5, n);
        if(c >= 1)
            ways += sum_n(sum+1, 1, n);
    }
    return ways;
}
int make_change(int n, int denom){
    int next_denom = 0;
    switch(denom){
    case 25:
        next_denom = 10;
        break;
    case 10:
        next_denom = 5;
        break;
    case 5:
        next_denom = 1;
        break;
    case 1:
        return 1;
    }
    int ways = 0;
    for(int i=0; i*denom<=n; ++i)
        ways += make_change(n-i*denom, next_denom);
    return ways;
}
int main(){
    int n = 10;
    sumN(0, 25, n);
    cout<<cnt<<endl;
    cout<<make_change(n, 25)<<endl;
    cout<<sum_n(0, 25, n)<<endl;
    return 0;
}

總結

以上是生活随笔為你收集整理的硬币面值组合的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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