本講教育信息】

一.教學(xué)內(nèi)容：

導(dǎo)數(shù)——平均變化率與瞬時(shí)變化率

二.本周教學(xué)目標(biāo)：

1、了解導(dǎo)數(shù)概念的廣闊背景，體會(huì)導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵．

2、通過(guò)函數(shù)圖象直觀理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義．

三.本周知識(shí)要點(diǎn)：

（一）平均變化率

1、情境：觀察某市某天的氣溫變化圖

2、一般地,函數(shù)f（x）在區(qū)間[x₁，x₂]上的平均變化率

平均變化率是曲線陡峭程度的“數(shù)量化”，曲線陡峭程度是平均變化率“視覺(jué)化”．

（二）瞬時(shí)變化率——導(dǎo)數(shù)

1、曲線的切線

如圖，設(shè)曲線c是函數(shù)的圖象，點(diǎn)是曲線c上一點(diǎn)作割線PQ，當(dāng)點(diǎn)Q沿著曲線c無(wú)限地趨近于點(diǎn)P，割線PQ無(wú)限地趨近于某一極限位置PT我們就把極限位置上的直線PT，叫做曲線c在點(diǎn)P處的切線

割線PQ的斜率為，即當(dāng)時(shí)，無(wú)限趨近于點(diǎn)P的斜率．

2、瞬時(shí)速度與瞬時(shí)加速度

1）瞬時(shí)速度定義：運(yùn)動(dòng)物體經(jīng)過(guò)某一時(shí)刻（某一位置）的速度，叫做瞬時(shí)速度.

2）確定物體在某一點(diǎn)A處的瞬時(shí)速度的方法：

要確定物體在某一點(diǎn)A處的瞬時(shí)速度，從A點(diǎn)起取一小段位移AA₁，求出物體在這段位移上的平均速度，這個(gè)平均速度可以近似地表示物體經(jīng)過(guò)A點(diǎn)的瞬時(shí)速度.

當(dāng)位移足夠小時(shí)，物體在這段時(shí)間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)可認(rèn)為是勻速的，所得的平均速度就等于物體經(jīng)過(guò)A點(diǎn)的瞬時(shí)速度．

我們現(xiàn)在已經(jīng)了解了一些關(guān)于瞬時(shí)速度的知識(shí)，現(xiàn)在已經(jīng)知道物體做直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，它的運(yùn)動(dòng)規(guī)律用函數(shù)表示為s＝s（t），也叫做物體的運(yùn)動(dòng)方程或位移公式，現(xiàn)在有兩個(gè)時(shí)刻t₀，t₀+Δt，現(xiàn)在問(wèn)從t₀到t₀+Δt這段時(shí)間內(nèi)，物體的位移、平均速度各是：

位移為Δs＝s（t₀+Δt）－s（t₀）（Δt稱時(shí)間增量）

平均速度

根據(jù)對(duì)瞬時(shí)速度的直觀描述，當(dāng)位移足夠小，現(xiàn)在位移由時(shí)間t來(lái)表示，也就是說(shuō)時(shí)間足夠短時(shí)，平均速度就等于瞬時(shí)速度.

現(xiàn)在是從t₀到t₀+Δt，這段時(shí)間是Δt.時(shí)間Δt足夠短，就是Δt無(wú)限趨近于0．當(dāng)Δt→0時(shí)，位移的平均變化率無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù)，那么稱這個(gè)常數(shù)為物體在t＝t₀的瞬時(shí)速度

同樣，計(jì)算運(yùn)動(dòng)物體速度的平均變化率，當(dāng)Δt→0時(shí)，平均速度無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)常數(shù)為在t＝t₀時(shí)的瞬時(shí)加速度．

3、導(dǎo)數(shù)

設(shè)函數(shù)在（a,b）上有定義，．若無(wú)限趨近于0時(shí)，比值無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù)A，則稱f（x）在x＝處可導(dǎo)，并稱該常數(shù)A為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，記作．

幾何意義是曲線上點(diǎn)（）處的切線的斜率．

導(dǎo)函數(shù)（導(dǎo)數(shù)）：如果函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)的每點(diǎn)處都有導(dǎo)數(shù)，此時(shí)對(duì)于每一個(gè)，都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)，從而構(gòu)成了一個(gè)新的函數(shù)，稱這個(gè)函數(shù)為函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)，簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)，也可記作．

【典型例題】

例1、水經(jīng)過(guò)虹吸管從容器甲中流向容器乙，t s后容器甲中水的體積（單位：），計(jì)算第一個(gè)10s內(nèi)V的平均變化率．

解：在區(qū)間[0，10]上，體積V的平均變化率為

即第一個(gè)10s內(nèi)容器甲中水的體積的平均變化率為．

例2、已知函數(shù)，，分別計(jì)算在區(qū)間[－3，－1]，[0，5]上函數(shù)及的平均變化率．

解：函數(shù)在[－3，－1]上的平均變化率為

在[－3,－1]上的平均變化率為

函數(shù)在[0，5]上的平均變化率為

在[0，5]上的平均變化率為

例3、已知函數(shù)，分別計(jì)算函數(shù)在區(qū)間[1，3]，[1，2]，[1，1.1]，[1，1.001]上的平均變化率．

解：函數(shù)在區(qū)間[1，3]上的平均變化率為

函數(shù)在[1，2]上的平均變化率為

函數(shù)在[1，1.1]上的平均變化率為

函數(shù)在[1，1.001]上的平均變化率為

例4、物體自由落體的運(yùn)動(dòng)方程s＝s（t）＝gt²，其中位移單位m，時(shí)間單位s，g＝9.8 m/s².求t＝3這一時(shí)段的速度.

解：取一小段時(shí)間［3，3+Δt］，位置改變量Δs＝g（3+Δt）²－g·3²＝（6+Δt）Δt，平均速度g（6+Δt）

當(dāng)Δt無(wú)限趨于0時(shí)，無(wú)限趨于3g＝29.4 m/s．

例5、已知質(zhì)點(diǎn)M按規(guī)律s＝2t²+3做直線運(yùn)動(dòng)（位移單位：cm，時(shí)間單位：s），

（1）當(dāng)t＝2，Δt＝0.01時(shí)，求.

（2）當(dāng)t＝2，Δt＝0.001時(shí)，求.

（3）求質(zhì)點(diǎn)M在t＝2時(shí)的瞬時(shí)速度.

分析：Δs即位移的改變量，Δt即時(shí)間的改變量，即平均速度，當(dāng)Δt越小，求出的越接近某時(shí)刻的速度.

解：∵＝4t+2Δt

∴（1）當(dāng)t＝2，Δt＝0.01時(shí)，＝4×2+2×0.01＝8.02 cm/s．

（2）當(dāng)t＝2，Δt＝0.001時(shí)，＝4×2+2×0.001＝8.002 cm/s．

（3）Δt0，（4t+2Δt）＝4t＝4×2＝8 cm/s

例6、曲線的方程為y＝x²+1，那么求此曲線在點(diǎn)P（1，2）處的切線的斜率，以及切線的方程．

解：設(shè)Q（1+，2+），則割線PQ的斜率為：

斜率為2

∴切線的斜率為2．

切線的方程為y－2＝2（x－1），即y＝2x．

【模擬試題】

1、若函數(shù)f（x）＝2x²+1，圖象上P（1,3）及鄰近點(diǎn)Q（1+Δx,3+Δy），則＝（）

A. 4 B. 4Δx C. 4+2Δx D. 2Δx

2、一直線運(yùn)動(dòng)的物體，從時(shí)間到時(shí)，物體的位移為，那么時(shí)，為（）

A.從時(shí)間到時(shí)，物體的平均速度；B.在時(shí)刻時(shí)該物體的瞬時(shí)速度；

C.當(dāng)時(shí)間為時(shí)物體的速度； D.從時(shí)間到時(shí)物體的平均速度

3、已知曲線y＝2x²上一點(diǎn)A（1，2），求（1）點(diǎn)A處的切線的斜率.（2）點(diǎn)A處的切線方程.

4、求曲線y＝x²+1在點(diǎn)P（－2，5）處的切線方程．

5、求y＝2x²+4x在點(diǎn)x＝3處的導(dǎo)數(shù)．

6、一球沿一斜面自由滾下，其運(yùn)動(dòng)方程是s＝s（t）＝t²（位移單位：m，時(shí)間單位：s），求小球在t＝5時(shí)的瞬時(shí)速度

7、質(zhì)點(diǎn)M按規(guī)律s＝2t²+3做直線運(yùn)動(dòng)（位移單位：cm，時(shí)間單位：s），求質(zhì)點(diǎn)M在t＝2時(shí)的瞬時(shí)速度．

【試題答案】

1、B

2、B

3、解：（1）時(shí)，k＝

∴點(diǎn)A處的切線的斜率為4.

（2）點(diǎn)A處的切線方程是y－2＝4（x－1）即y＝4x－2

4、解：時(shí)，k＝

∴切線方程是y－5＝－4（x+2），即y＝－4x－3.

5、解：Δy＝2（3+Δx）²+4（3+Δx）－（2×3²+4×3）＝2（Δx）²+16Δx，＝2Δx+16

∴時(shí)，y′|_x＝3＝16

6、解：時(shí)，瞬時(shí)速度v＝（10+Δt）＝10 m/s.

∴瞬時(shí)速度v＝2t＝2×5＝10 m/s.

7、解：時(shí)，瞬時(shí)速度v＝＝（8+2Δt）＝8cm/s