遞歸的定義

在定義一個過程或函數時，出現直接或者間接調用自己的成分，稱之為遞歸。

若直接調用自己，稱之為直接遞歸；若間接調用自己，稱之為間接遞歸。

如果一個遞歸函數中遞歸調用語句是最后一條執行語句，則稱這種遞歸調用為尾遞歸。

尾遞歸算法：可以用循環語句轉換為等價的非遞歸算法

其他遞歸算法：可以通過棧來轉換為等價的非遞歸算法

使用遞歸的場景

（1）定義是遞歸的

有許多數學公式、數列等的定義是遞歸的。例如，求n!和Fibonacci數列等。這些問題的求解過程可以將其遞歸定義直接轉化為對應的遞歸算法。

（2）數據結構是遞歸的

有些數據結構是遞歸的。 例如， 單鏈表就是一種遞歸數據結構， 其節點類型定義如下：

1 typedef struct LNode
2 { 
3     ElemType data;
4     struct LNode *next; //指向同類型節點的指針
5 } LinkList;

不帶頭節點單鏈表示意圖：

（3）問題的求解方法是遞歸的

遞歸模型

一個遞歸模型是由遞歸出口和遞歸體兩部分組成。

遞歸出口確定遞歸到何時結束；遞歸體確定遞歸求解時的遞推關系。

f(s_n) =g(f(s_i)， f(s_i+1)， …， f(s_n-1)， c_j， c_j+1， …， c_m)

其中g是一個非遞歸函數，c是常量。

把一個不能或不好直接求解的“大問題”轉化成一個或幾個“小問題”來解決； 再把這些“小問題”進一步分解成更小的“小問題” 來解決。 直到每個“小問題”都可以直接解決（此時分解到遞歸出口）。
但遞歸分解不是隨意的分解，遞歸分解要保證“大問題”與“小問題”相似，即求解過程與環境都相似。

f(s₁) =m₁
f(s_n) =g(f(s_n-1)， c_n-1)

求f(sn)的分解過程如下：

遇到遞歸出口發生“質變” ， 即原遞歸問題便轉化成可以直接求解的問題。 求值過程：

這樣f(s_n)便計算出來了，因此遞歸的執行過程由分解和求值兩部分構成。

求遞歸模型的步驟

（1）對原問題f(s)進行分析， 稱為“ 大問題” ，假設出合理的“ 小問題” f(s’)

（2）假設f(s’)是可解的， 在此基礎上確定f(s)的解， 即給出f(s)與f(s’)之間的關系，即遞歸體

（3）確定一個特定情況（如f(1)或f(0)）的解，即遞歸出口

應用

1、采用遞歸算法求實數數組A[0..n-1]中的最小值

分析：

假設f(A,i-1)已求出， 則f(A,i)=MIN(f(A,i-1)， A[i])， 其中MIN()為求兩個值較小值函數。

當i=0時，只有一個元素，有f(A,i)=A[0]。

遞歸模型：
f(A,i) =A[0] 當i=0時
f(A,i) = MIN(f(A,i-1)， A[i]) 其他情況

代碼：

 1 float f(float A[], int i)
 2 { 
 3     float m;
 4     if (i == 0)
 5         return A[0];
 6     else
 7     { 
 8         m = f(A, i - 1);
 9         
10         if (m > A[i])
11             return A[i];
12         else
13             return m;
14     }
15 }

2、求單鏈表中數據節點個數

分析：

空單鏈表的數據節點個數為0，即f(L)=0 當L=NULL

對于非空單鏈表：

考慮一下我們的鏈表模型：

則可以得出下面的圖：

遞歸模型：

f(L) = 0 當L=NULL
f(L) =f(L->next) + 1 其他情況

代碼：

1 int count(Node *L)
2 { 
3     if (L == NULL)
4         return 0;
5     else
6         return count(L->next) + 1;
7 }

3、正向顯示所有節點值

分析：

假設f(L->next)已求解
f(L)等價于輸出L->data； f(L->next);

遞歸模型：

f(L) 不做任何事件 當L=NULL
f(L) 輸出L->data;f(L->next) 其他情況

代碼：

1 void traverse(Node *L)
2 { 
3     if (L == NULL) 
4         return;
5         
6     printf("%d ", L->data);
7     traverse(L->next);
8 }

4、反向顯示所有節點值

分析：

假設f(L->next)已求解
f(L)等價于f(L->next);輸出L->data；

遞歸模型：

f(L) 不做任何事件 當L=NULL
f(L) f(L->next);輸出L->data 其他情況

代碼：

1 void traverseR(Node *L)
2 { 
3     if (L == NULL) 
4         return;
5 
6     traverseR(L->next);
7     printf("%d ", L->data);
8 }

5、采用遞歸算法求解迷宮問題，并輸出從入口到出口的所有迷宮路徑

分析：

遞歸模型：

mgpath(xi,yi,xe,ye,path) 將(xi,yi)添加到path中;輸出path中的迷宮路徑; 若(xi,yi)=(xe,ye)
mgpath(xi,yi,xe,ye,path) 對于(xi,yi)四周的每一個相鄰方塊(i,j)：
　　　　　　　　　　　　　　(1)將(xi,yi)添加到path中;
　　　　　　　　　　　　　　(2)置mg[xi][yi]=-1;
　　　　　　　　　　　　　　(3)mgpath(i,j,xe,ye,path);
　　　　　　　　　　　　　　(4)path回退一步并置mg[xi][yi]=0; （在一個“小問題” 執行完后回退是為了找所有解）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　若(xi,yi)不為出口且可走

代碼：

 1 typedef struct
 2 { 
 3     int i; //當前方塊的行號
 4     int j; //當前方塊的列號
 5 } Box;
 6 
 7 typedef struct
 8 { 
 9     Box data[MaxSize];
10     int length; //路徑長度
11 } PathType; //定義路徑類型
12 
13 int mg[M+2][N+2] = //M=4， N=4
14 { 
15     {1, 1, 1, 1, 1, 1},
16     {1, 0, 0, 0, 1, 1},
17     {1, 0, 1, 0, 0, 1},
18     {1, 0, 0, 0, 1 ,1},
19     {1, 1, 0, 0, 0, 1},
20     {1, 1, 1, 1, 1, 1} 
21 };
22 
23 void mgpath(int xi,int yi,int xe,int ye,PathType path)
24 //求解路徑為:(xi,yi) ? (xe,ye)
25 { 
26     int di,k,i,j;
27     if (xi == xe && yi == ye)
28     { 
29         path.data[path.length].i = xi;
30         path.data[path.length].j = yi;
31         path.length++;
32         printf("迷宮路徑%d如下:
",++count);
33 
34         for (k = 0; k < path.length; k++)
35         { 
36             printf("	(%d, %d)", path.data[k].i, path.data[k].j);
37             
38             if ((k + 1) % 5 == 0) //每輸出每5個方塊后換一行
39                 printf("
");
40         }
41         printf("
");
42     }
43     else //(xi,yi)不是出口
44     { 
45         if (mg[xi][yi] == 0) //(xi,yi)是一個可走方塊
46         { 
47             di= 0;
48             while (di<4) //對于(xi,yi)四周的每一個相鄰方位di
49             { 
50                 switch(di) //找方位di對應的方塊(i,j)
51                 {
52                     case 0: 
53                         i = xi-1; j = yi; break;
54                     case 1: 
55                         i = xi; j = yi + 1; break;
56                     case 2:
57                         i = xi + 1; j = yi; break;
58                     case 3:
59                         i = xi; j = yi - 1; break;
60                 } 
61                 path.data[path.length].i = xi;
62                 path.data[path.length].j = yi;
63                 path.length++; //路徑長度增1
64                 mg[xi][yi]=-1; //避免來回重復找路徑
65 
66                 mgpath(i,j,xe,ye,path);
67 
68                 path.length--; //回退一個方塊
69                 mg[xi][yi]=0; //恢復(xi,yi)為可走
70                 di++;
71             } //-while
72         } //- if (mg[xi][yi]==0)
73     } //-遞歸體
74 }
75 
76 int main()
77 { 
78     PathType path;
79     path.length=0;
80 
81     mgpath(1, 1, 4, 4, path);
82 
83     return 0;
84 }

初始：

結果：

本文圖片參考自：配套ppt課件

總結

以上是生活随笔為你收集整理的数据结构教程读书笔记_递归的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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