前言

同角公式

平方關系：(sin^2 heta+cos^2 heta=1)；商數關系：(cfrac{sin heta}{cos heta}=tan heta)；

誘導公式

公式	一[同終邊]	二[對稱]	三[奇偶性]	四[互補]	五[互余]	六[垂直]
角的大小	(2kpi+alpha)	(pi+alpha)	(-alpha)	(pi-alpha)	(cfrac{pi}{2}-alpha)	(cfrac{pi}{2}+alpha)
正弦=>(sin)	(sinalpha)	(-sinalpha)	(-sinalpha)	(sinalpha)	(cosalpha)	(cosalpha)
余弦=>(cos)	(cosalpha)	(-cosalpha)	(cosalpha)	(-cosalpha)	(sinalpha)	(-sinalpha)
正切=>(tan)	(tanalpha)	(tanalpha)	(-tanalpha)	(-tanalpha)	(diagup)	(diagup)
記憶口訣	函數名不變 符號看象限	函數名不變 符號看象限	函數名不變 符號看象限	函數名不變 符號看象限	函數名改變 符號看象限	函數名改變 符號看象限

和差角公式

$sin(alphapm eta)=sinalphacdot coseta pm cosalphacdot sineta $；

$cos(alphapm eta)=cosalphacdot coseta mp sinalphacdot sineta $；

(tan(alphapm eta)=cfrac{tanalphapm taneta}{1mp tanalphacdot taneta})；

關系梳理

和差角公式是誘導公式的拓展，誘導公式是和差角公式的特例；

舉例說明：當(sin(alpha+eta))中涉及到的角比較特殊時，比如(alpha=cfrac{3pi}{2})時，我們走誘導公式這條線比較快捷，即(sin(alpha+eta)=sin(cfrac{3pi}{2}+eta)=-coseta)；

當涉及到的角非常一般時，我們只能走和差角公式這條線，即(sin(alpha+eta)=sinalphacdot coseta+cosalphacdot sineta)；

三角形中的三角函數關系，其實質是和差角公式在三角形中的應用；

(sin(A+B)=sin(pi-C)=sinC)，(cos(A+B)=cos(pi-C)=-cosC)，

(sincfrac{A+B}{2}=sin(cfrac{pi}{2}-cfrac{C}{2})=coscfrac{C}{2})，(coscfrac{A+B}{2}=cos(cfrac{pi}{2}-cfrac{C}{2})=sincfrac{C}{2})，

應用注意

互通

由誘導公式我們知道，(sin(cfrac{pi}{2}-alpha)=cosalpha)；

由和差角公式我們知道，以下的使用也是正確的，

(sin(cfrac{pi}{2}-alpha)=sincfrac{pi}{2}cosalpha-coscfrac{pi}{2}sinalpha=cosalpha)；

但是二者學習成本相比，記住誘導公式的結論，非常有必要；

不互通，下列公式中的(alpha)，(eta)，(alpha-eta)都受限，需要(
eq kpi+cfrac{pi}{2})；

(tan(alpha-eta)=cfrac{tanalpha-taneta}{1+tanalphacdot taneta})，

所以以下的變形是錯誤的，應該避免：

(tan(cfrac{pi}{2}-alpha)=cfrac{tancfrac{pi}{2}-tanalpha}{1+tancfrac{pi}{2}cdot tanalpha})

正確的變形應該是用誘導公式：(tan(cfrac{pi}{2}-alpha)=cfrac{1}{tanalpha}=cotalpha)；

典例剖析

例1【2020屆寶雞市質量檢測1理科數學第15題】在( riangle ABC)中，(angle ABC=90^{circ})，(AB=4)，(BC=3)，點(D)在線段(AC)上，若(angle BDC=60^{circ})，則(BD)=，(cosangle CBD)=。

分析：由題可知，(sinC=cfrac{4}{5})，(cosC=cfrac{3}{5})，

在( riangle BCD)中，由正弦定理可知，(cfrac{BD}{sinC}=cfrac{3}{sin60^{circ}})，解得(BD=cfrac{8sqrt{3}}{5})；

(cosangle CBD=cos[pi-(angle BDC+angle ACB)]=-cos(angle BDC+angle ACB)=-cos60^{circ}cdot cosangle ACB+)(sin60^{circ}cdot sinangle ACB)(=-cfrac{3}{10}+cfrac{4sqrt{3}}{10}=cfrac{4sqrt{3}-3}{10}).

解后反思：如果利用余弦定理求解(AD)，再用正弦定理求解(sinangle ABD)，利用(cos angle CBD=sinangle ABD)，從而求得(cos angle CBD)，這樣的運算會很復雜。這個題目的求解也從另一個角度說明了公式(cos(alpha+eta))存在的必要性。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的三角函数公式关系梳理的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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