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本文轉(zhuǎn)載自：傳送門(mén) 知乎作者：三川啦啦啦

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等價(jià)無(wú)窮小替換，本質(zhì)上是一個(gè)選擇估計(jì)值精確度的問(wèn)題。我下面通過(guò)一個(gè)非常通俗易懂的例子來(lái)說(shuō)明.
我問(wèn)
(LARGE frac{pi-3}{0.1}approx ?)
答：約等于1.

什么， (pi = 3.1_{cdots}) 代入上式，
(LARGE frac{pi-3}{0.1}=frac{3.1-3}{0.1}=frac{0.1ldots}{0.1}approx 1)

這個(gè)時(shí)候，我們只需要用到 π 的估計(jì)值 3.1就夠了.
但是，若問(wèn)
(LARGE frac{pi-3.1}{0.0415}approx ?)

這個(gè)時(shí)候，如果我們?nèi)匀贿x擇 π 的估計(jì)值 3.1代入上式，就會(huì)出現(xiàn)災(zāi)難性后果：
(LARGE frac{0}{0.0415}approx 0)

這個(gè)約等于就跟玩一樣，明明約等于 1 才更準(zhǔn)確啊！
(LARGE frac{pi-3.1}{0.0415}=1.002232616621519_{cdots})

導(dǎo)致這個(gè)后果的原因是什么呢？
你看，如果我使用 π 稍精確一點(diǎn)估計(jì)值3.14（而不是3.1），代入結(jié)果
(LARGE frac{pi-3.1}{0.041}approxfrac{0.040}{0.041}approx 1)

問(wèn)題又來(lái)了（這是一個(gè)關(guān)鍵性問(wèn)題），

為什么在第二種情況，我們選擇了π 更精確的估計(jì)值3.14，而沒(méi)有選用3.1？

前后兩道例題的區(qū)別在哪里？

前后兩個(gè)例子的區(qū)別在于——對(duì)誤差項(xiàng)估計(jì)的精確程度要求不同，前一道題對(duì) π 的估計(jì)只精確到了十分位（0.1），而后者對(duì) π 的估計(jì)精確到了百分位（0.01）.
我們會(huì)發(fā)現(xiàn)分母是一個(gè)對(duì)精確度要求的明顯指標(biāo)——分母數(shù)量級(jí)越小，對(duì)分子的變化越敏感(想想反比例函數(shù)在0點(diǎn)的性態(tài))，于是對(duì)估值的精度要求變高.

其實(shí)等價(jià)無(wú)窮小的替換，無(wú)非也是這種情況，下面僅說(shuō)明一例.
我們知道
(LARGE ln(1+x) sim x , vert x vert < 1)

是一對(duì)很經(jīng)典的等價(jià)無(wú)窮小.

學(xué)習(xí)了 Taylor公式后，我們知道關(guān)于 ln(1+x) 更精確的逼近式：
(LARGE ln (1+x) sim x - frac{x^{2}}{2}+frac{x^{3}}{3}-ldots)

對(duì)于極限
(LARGE limlimits_{x o 0} frac{ln(1+x)}{x} = limlimits_{x o 0}frac{x}{x} = 1)

這個(gè)時(shí)候，用 x 當(dāng)作 ln(1+x) 的“估計(jì)值”，已經(jīng)夠用了（注意分母），而若求極限
(LARGE limlimits_{x o 0}frac{ln(1+x)-x}{x^{2}} = limlimits_{x o 0}frac{x-frac{x^{2}}{2} - x }{x^{2}} = -frac{1}{2})

這是時(shí)候用(frac{x-x^{2}}{2})作為(ln(1+x))的“估計(jì)值”，顯然比用 x 顯得更為適宜（注意分母）.

注意到了什么規(guī)律了嗎？？？

分母是幾階，泰勒就得展到幾階，這就是所謂的上下同階原理.

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的关于等价无穷小使用条件的问题的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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