1 引言

當前，絕大多數(shù)非高斯噪聲的建模形式都為Alpha穩(wěn)定分布噪聲。首先，Alpha穩(wěn)定分布符合中心極限定理，在理論上適合應用于實際場景中的噪聲建模；其次，Alpha穩(wěn)定分布由于其參數(shù)的可變性，包含高斯分布、柯西分布和拉普拉斯分布等，研究Alpha噪聲下的調(diào)制識別方法比高斯分布噪聲更具有普適性。但是，Alpha穩(wěn)定分布噪聲不具有二階及二階以上特性，大部分的時頻特征和統(tǒng)計特征失效。

課題的第四章節(jié)主要利用統(tǒng)計特征實現(xiàn)非高斯場景下的調(diào)制識別方法。在非高斯場景中，主要的抑制噪聲手段如圖1所示。

圖1 Alpha穩(wěn)定分布噪聲的抑噪方法

本次分享中，主要介紹特征分數(shù)低階化的方法，用到的特征是常用的循環(huán)譜方法，通過構造分數(shù)低階循環(huán)譜特征，獲得含有Alpha穩(wěn)定分布噪聲信號的特征向量，最終使用訓練好的分類器模型得到最終的信號分類結果。

2 研究目的：

論文的第四章節(jié)中，主要想利用基于分數(shù)低階統(tǒng)計特征的調(diào)制識別方法，因此首先嘗試了使用分數(shù)低階循環(huán)譜特征，該方法有效地實現(xiàn)了Alpha噪聲下的調(diào)制識別，并得到較優(yōu)的識別精度。一方面，使用傳統(tǒng)的方法實現(xiàn)非高斯場景下的調(diào)制識別方法具有工程可實現(xiàn)性；另一方面，為第五章節(jié)基于深度學習的調(diào)制識別方法提供了對比。

3 循環(huán)譜的理論基礎

通常在對平穩(wěn)隨機過程的各階統(tǒng)計量進行描述時，因為平穩(wěn)的隨機過程具有時間遍歷性，所以各階統(tǒng)計量都可以采用時間平均這一概念來描述。但由于非平穩(wěn)信號的均值和自相關函數(shù)都是隨時間而變化的函數(shù)，所以不能直接用時間平均來計算信號的統(tǒng)計量特征。

假設一個確定的復正弦信號

，n(t)是均值為零的隨機噪聲，即

用統(tǒng)計平均的方法求出以上過程的均值，有

被稱為時間函數(shù)，根據(jù)時間函數(shù)可以得到信號的均值，一般采取的方法為同步平均。設 為以上隨機過程中的周期值，選取信號x(t)的采樣點，采樣點個數(shù)為2N+1，假設有限時間是t，通過同步平均的方法，可以得到估計的信號統(tǒng)計均值，具體公式如下。

其中信號的持續(xù)時間為

信號的持續(xù)時間越長，外界噪聲對信號的干擾越小，有

具有周期性，周期為 。若將統(tǒng)計均值以傅里葉級數(shù)的形式展開，則有

其中，傅里葉系數(shù)的具體形式由下式給出，即

由上述式子的推導可得：

如果x(t)中包括很多不同的周期信號，則根據(jù)上述的公式可以進一步得到下式：

在上式中，

代表了信號的諧波頻率，在信號x(t)進行大小的頻移后，得到的循環(huán)均值為 。此時的代表了一階循環(huán)頻率，通過可以得知循環(huán)均值 的值是否是零。信號為一階循環(huán)平穩(wěn)的條件是信號的循環(huán)均值和一階循環(huán)頻率都不是零。

假如信號的循環(huán)均值和一階循環(huán)頻率其中有一個為零，那么為了對信號繼續(xù)分析，就需要利用信號的二階統(tǒng)計量這一參量，二階統(tǒng)計量代表了信號的自相關函數(shù)，自相關函數(shù)的定義如下：

其中T代表了自相關函數(shù)的循環(huán)周期。

假設信號x(t)的均值為零，信號的自相關函數(shù)以傅里葉級數(shù)的形式來表示，則有：

其中

為傅里葉系數(shù)，

如果x(t)是經(jīng)歷了各態(tài)的過程，則有下式：

同樣傅里葉系數(shù)為：

由上式可得，當

時，代表了自相關函數(shù)。當 時，代表了循環(huán)自相關函數(shù)，具有循環(huán)平穩(wěn)的性質(zhì)，且不全部是零。此時的 代表了二階循環(huán)頻率，被稱為循環(huán)頻率，同樣具有循環(huán)平穩(wěn)的性質(zhì)。

循環(huán)譜也就是循環(huán)平穩(wěn)信號的譜自相關函數(shù)，用

表示：

在循環(huán)頻率為零時，信號的循環(huán)譜代表了功率譜；在循環(huán)頻率不為零時，信號的傅里葉變換代表了循環(huán)譜。

運用信號的互譜理論，可以得到如下關系：

結合以上關系可得：

u(t)和v(t)互相關的結果可以得到循環(huán)自相關函數(shù)，兩者之間的關系是

。

由互譜理論分析可得

則

由以上結論可得，信號的循環(huán)平穩(wěn)性質(zhì)可以通過瞬時譜相關看出，公式如下：

由上式可以看出，根據(jù)信號循環(huán)譜

的公式，代表了信號的短時傅里葉變換，也就是信號在一個時間段里的頻譜，對信號進行短時傅里葉變換后，信號的譜相關函數(shù)可以根據(jù)互譜理論和公式得到，此時的譜相關函數(shù)也就是信號的循環(huán)譜。

采用信號循環(huán)譜的優(yōu)點是，信號的循環(huán)譜密度函數(shù)能夠表示一些信號的特性和特征，例如循環(huán)譜包含了信號的頻率和循環(huán)頻率，從這些信息能夠?qū)π盘栠M行更準確有效地分析，對信號處理系統(tǒng)的準確性有很大提升。當外界信道環(huán)境包括噪聲時，則輸入信號滿足：

x(t)=s(t)+n(t)

其中x(t)代表了信號，n(t)代表了外界環(huán)境中的噪聲。假如n(t)為符合高斯分布的高斯白噪聲，那么x(t)的自相關函數(shù)就不是周期函數(shù)，x(t)具有平穩(wěn)的性質(zhì)，x(t)的循環(huán)譜密度函數(shù)如下：

上式表達的意義是符合平穩(wěn)分布的噪聲的循環(huán)譜密度函數(shù)為零，因此通過信號的循環(huán)譜可以抑制穩(wěn)定分布噪聲的幅值，進而得到屬于信號的循環(huán)譜特征。

4 分數(shù)低階化方法

一般來說，分數(shù)低階循環(huán)統(tǒng)計量包括分數(shù)低階循環(huán)自相關函數(shù)和分數(shù)低階循環(huán)譜密度函數(shù)兩個概念，是分數(shù)低階統(tǒng)計量中的一個重要的組成部分。

假設隨機信號x(t)的自相關函數(shù)的周期大小為

，那么x(t)就屬于循環(huán)平穩(wěn)信號，如下式所示為分數(shù)低階循環(huán)自相關函數(shù)表達式，式中 。

假如采用復數(shù)形式，那么信號的分數(shù)低階循環(huán)譜可能會有一些信息被遺漏。因此本課題將研究重點集中在變換后信號的實部，即

。若b介于 范圍內(nèi)，當b=1時，分數(shù)低階循環(huán)譜也就變成了二階循環(huán)譜。 代表循環(huán)頻率，f代表頻率，將 進行傅里葉變換，得到 ，就是信號的分數(shù)低階循環(huán)譜。分數(shù)低階循環(huán)譜如下式所示：

其中，f表示信號的頻率。

對于復解析信號

， ，分數(shù)低階循環(huán)譜通過計算使得循環(huán)譜圖上噪聲的幅值為零，但是信號的幅值不為零，通過這種方法可以得到信號的循環(huán)譜特征。由于非高斯噪聲的二階統(tǒng)計量不存在，因此只能利用分數(shù)低階統(tǒng)計量來對非高斯噪聲進行處理。分數(shù)低階循環(huán)統(tǒng)計量與二階循環(huán)統(tǒng)計量具有相同的循環(huán)頻率。

5 仿真結果

圖2 2ASK、BPSK和2FSK的分數(shù)低階循環(huán)譜三維圖

如圖2所示為2ASK、BPSK和2FSK的分數(shù)低階循環(huán)譜三維圖，經(jīng)過對調(diào)制信號分數(shù)低階循環(huán)譜三維仿真圖的分析，為了減少識別算法的計算量，將調(diào)制信號的分數(shù)低階循環(huán)譜在f=0的截面上作投影，將三維立體圖轉(zhuǎn)換為二維平面圖。由仿真實驗結果可知，分數(shù)低階循環(huán)譜在截面上投影的包絡就能夠完整反映出不同調(diào)制信號的不同特性，因此對譜圖進行進一步處理，最終提取調(diào)制信號分數(shù)低階循環(huán)譜在f=0截面上投影的最大值作為調(diào)制信號的循環(huán)譜特征。

（a）BPSK

（b）QPSK

（c）2FSK

（d）4FSK

圖3 不同信號分數(shù)低階循環(huán)譜截面投影

如圖3所示為不同調(diào)制信號的分數(shù)低階循環(huán)譜在f=0截面上投影最大值的仿真實驗結果。

確定不同調(diào)制信號的分數(shù)低階循環(huán)譜特征之后，需要對適用于本文所選五種調(diào)制信號的分類方法進行選擇。本文根據(jù)選定的分數(shù)低階循環(huán)譜特征，選取KNN分類器（k近鄰分類算法）作為分類方法。利用KNN分類器進行分類識別一般需要經(jīng)過兩個階段。第一個階段是訓練階段，在對輸入信號進行判定之前，首先需要對KNN分類器進行訓練，輸入不同類別的帶有相應標簽的樣本數(shù)據(jù)，使得分類器中已存儲好可供判定使用的樣本數(shù)據(jù)集。分類器訓練的結果一般是不同類別的樣本數(shù)據(jù)分布在不同的區(qū)域，而相同類別的樣本數(shù)據(jù)之間的距離很小。所以可以根據(jù)輸入的待標記樣本數(shù)據(jù)附近一定范圍內(nèi)，樣本個數(shù)最多的樣本類別來判斷輸入的樣本數(shù)據(jù)所屬的類別。在訓練階段，本文選取調(diào)制信號分數(shù)低階循環(huán)譜截面投影的最大值即調(diào)制信號的循環(huán)譜特征作為訓練的樣本數(shù)據(jù)。訓練的數(shù)據(jù)集為2ASK、BPSK、QPSK、2FSK和4FSK五種調(diào)制信號的循環(huán)譜特征，設定每種調(diào)制信號各有100組循環(huán)譜特征的樣本數(shù)據(jù)，對五種調(diào)制信號分別進行了100次的蒙特卡洛仿真實驗，共得到了500組調(diào)制信號循環(huán)譜特征的樣本數(shù)據(jù)。同時對每組樣本數(shù)據(jù)標記好對應的信號種類標簽，并將調(diào)制信號循環(huán)譜特征的數(shù)據(jù)集和標簽同時輸入到KNN分類器中進行訓練。

圖4 三種算法在α穩(wěn)定分布噪聲背景下的識別率曲線

為了將本文選取的分數(shù)低階循環(huán)譜算法和傳統(tǒng)算法作對比說明，如圖4所示為α穩(wěn)定分布噪聲背景下，高階累積量算法、二階循環(huán)譜算法和本文選取的分數(shù)低階循環(huán)譜算法的識別率曲線對比圖。由圖可知，高階累積量算法和二階循環(huán)譜算法在α穩(wěn)定分布噪聲背景下識別率很低，算法將失效，但在同樣的混合信噪比范圍內(nèi)，當混合信噪比MSNR>13dB時，分數(shù)低階循環(huán)譜算法的識別率在90%以上。

5 進度總結及計劃

已經(jīng)實現(xiàn)了基于分數(shù)低階循環(huán)譜的調(diào)制識別方法，但該方法在模型測試的時候具有一定的冗余，計劃添加信噪比估計步驟；

信噪比估計步驟已經(jīng)單獨實現(xiàn)，還沒沒有講信噪比估計和分類識別的過程相結合，完善整個第4章節(jié)。

總結

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