算法学习 母函数
母函數又稱生成函數。定義是給出序列:a0,a1,a2,.......ak,......,那么函數G(x)=a0+a1*x+a2*x2+......ak*xk稱為序列a0,a1,a2,.......ak,......的母函數(即生成函數)。
例如：序列1,2,3.......n的生成函數為：G(x)=x+2x2+3x3+........nxn。點此鏈接:百度百科
特別的當序列為:1，1，1，1，.......1，這個生成函數為:G(x)=x+x2+x3+.......+xn=(1-xn)/(1-x),當-1<x<1時G(x)=1/(1-x)
1/(1-x)n=1+C(n,1)x+C(n+1,2)x2+C(n+2,3)x3+...+C(n+k-1,k)xk+...可以把生成函數還原為數列。
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例 1：使用母函數求出斐波那契數列的通項公式。Fib(n)=Fib(n-1)+Fib(n-2),這里假設Fib(1)=1,Fib(2)=1;
求解這種遞推關系的方法是：①、將遞推關系變成母函數方程；②、求解母函數方程；③、將母函數變成冪級數形式。
所以斐波那契數列的生成函數為:G(x)=x+x2+2x3+3x4+5x5+8x6..........。
等式兩邊同時*x有：xG(x)=x2+x3+2x4+3x5+5x6+8x7+.......。
相加有：G(x)+xG(x)=x+2x2+3x3+5x4+8x5+13x6+........。
我們對比G(x)可以得到:G(x)+xG(x)=G(x)/x-1;所以我們可以得到:G(x)=x/(1-x-x2)。
可以令:1-x-x2=0,得到兩根為:a=(1-√5)/2,b=(1+√5)/2,所以我們可以知道:1-x-x2=(x-x1)(x-x2)=(1-ax)(1-bx);
假設x/(1-x-x2)=m/(1-ax)+n/(1-bx),通分有：x=m(1-bx)+n(1-ax).由系數關系可得m=-1/√5,n=1/√5,所以G(x)=-1/√5(1-bx)+1/√5(1-ax)。
我們可知：1/(1-bx)=1/[1-(1+√5)/2x]是以公比為(1+√5)/2的等比數列，1/(1-ax)是以公比為(1-√5)/2的等比數列，所以其通項公式為：Fib(n)=1/√5[bn+1-an+1]。
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例題2：若有1克、2克、3克、4克的砝碼各一 枚，能稱出哪幾種重量？各有幾種可能方案？
構造母函數，如果用x的指數表示稱出的重量，則：
1個1克的砝碼可以用函數1+x表示，(前面的這個1表示1克的砝碼個數為0)
1個2克的砝碼可以用函數1+x2表示，
1個3克的砝碼可以用函數1+x3表示，
1個4克的砝碼可以用函數1+x4表示，
那么幾種砝碼的組合情況的用乘積表示有:(1+x)(1+x2)(1+x3)(1+x4)=1+x+x2+2x3+2x4+2x5+2x6+2x7+x8+x9+x10?,系數即為方案數。
例稱出重量為6的物品：①、1，2，3；②、2，4兩種方案。
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例題3：求用1分、2分、3分的郵票貼出不同數值的方案數？
這個相對于上面的那個例子是：這個郵票可以重復?？芍渖珊瘮禐?#xff1a;G(x)=(1+x+x2+....)(1+x2+x4+....)(1+x3+x6+...),同理展開后其系數即為方案數。
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例題4：德.梅其里亞克稱重問題
(1)重為a1,a2,a3.....ak的砝碼，如何放在天平的兩端，記可稱重量為n的物體的不同方式為Cn,則Cn的母函數為:
G(x)=(x-a1+1+xa1)(x-a2+1+xa2).........(x-ak+1+xak) ------?x-a1表示砝碼a1和物體放在同一個托盤內,xa1表示砝碼和物體放在不同的托盤內,1則為不用這個砝碼。
(2)重為a1,a2,a3....ak的砝碼，如只可以放在天平的一端，記可稱重量為n的物體的不同方式為Cn，則Cn的母函數為：
G(x)=(1+xa1)(1+xa2).........(1+xak)
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例題5：數的劃分，將整數分解為若干個整數(相當于將n個蘋果放在n個無區別的盤子里，每個盤子可以放多個，也可以不放)，上一篇博文中有提到。
假設1出現的次數為記為a1,2出現的次數記為a2.........k出現的次數記為ak,那么生成函數為：
G(x)=(1+x+x2+x3+x4+.....)(1+x2+x4+x6+x8+......)(1+x3+x6+x9+....)........(1+xn)
前面的1+x2+x4+x6+x8+......意思是當出現一個2時為x2，當出現兩個2時為x4.....,為什么當出現n時，只有兩項(1+xn)，因為是將數n劃分為若干項，所以不能超過該數，且由數1到n項數依次要<=n/k(k=1.2,3,4...n)。
還是以nyist 90(數的劃分)為例：這里就直接套用網上的模板了
#include<iostream> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; const int MAX=50; #define CLR(arr,val) memset(arr,val,sizeof(arr)) int n,m,value[MAX],temp[MAX]; int main() { cin>>m; while(m--) { cin>>n; fill(value,value+MAX,1);//value用來存儲系數 CLR(temp,0);//temp用來保存每一次的情況 for(int i=2;i<=n;i++) { for(int j=0;j<=n;j++) for(int k=0;k+j<=n;k+=i) //控制每次系數的變化和每個數出現的最大項數 temp[k+j]+=value[j]; for(int j=0;j<=n;j++) value[j]=temp[j],temp[j]=0; } cout<<value[n]<<endl; } return 0; }?
?例題2：hdu 1085(硬幣問題)
//有3種面額是1、2、5的硬幣,輸入3個數字代表每種硬幣的枚數,求最小的不能由這些硬幣組成的面額是多少？ #include<iostream> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; const int MAX=8010; #define CLR(arr,val) memset(arr,val,sizeof(arr)) int value[MAX],temp[MAX],num[3],coin[3]={1,2,5}; int main() { while(cin>>num[0]>>num[1]>>num[2]) { if(num[0]+num[1]+num[2]==0) break; int max=num[0]+2*num[1]+5*num[2]; CLR(value,0); CLR(temp,0); fill(value,value+num[0]+1,1); for(int i=1;i<3;i++) { for(int j=0;j<=max;j++) for(int k=0;k+j<=max&&k/coin[i]<=num[i];k+=coin[i])//注意不能超出個數 temp[k+j]+=value[j]; for(j=0;j<=max;j++) value[j]=temp[j],temp[j]=0; } for(i=0;i<=max+1;i++)//遍歷即可 if(value[i]==0) {cout<<i<<endl;break;} } return 0; }涉及到母函數的題目有：HDU 1171，1398，1709，2065，2069，2082，2152；POJ 3046,3716,3734等等~有空再做下
轉自https://www.cnblogs.com/13224ACMer/p/4671551.html
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