乘法逆元

對于縮系中的元素，每個數(shù)a均有唯一的與之對應(yīng)的乘法逆元x，使得ax≡1(mod n)
一個數(shù)有逆元的充分必要條件是gcd(a,n)=1，此時逆元唯一存在?
逆元的含義：模n意義下，1個數(shù)a如果有逆元x，那么除以a相當(dāng)于乘以x。

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下面給出求逆元的幾種方法：

1.擴(kuò)展歐幾里得

給定模數(shù)m，求a的逆相當(dāng)于求解ax=1(mod m)
這個方程可以轉(zhuǎn)化為ax-my=1?
然后套用求二元一次方程的方法，用擴(kuò)展歐幾里得算法求得一組x0,y0和gcd?
檢查gcd是否為1?
gcd不為1則說明逆元不存在?
若為1，則調(diào)整x0到0~m-1的范圍中即可

PS：這種算法效率較高，常數(shù)較小，時間復(fù)雜度為O(ln n)

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2.費馬小定理

在模為素數(shù)p的情況下，有費馬小定理?
a^(p-1)=1（mod p）?
那么a^(p-2)=a^-1(mod p)?
也就是說a的逆元為a^(p-2)

而在模不為素數(shù)p的情況下，有歐拉定理?
a^phi(m)=1（mod m） (a⊥m)?
同理a^-1=a^(phi(m)-1)

因此逆元x便可以套用快速冪求得了x=a^(phi(m)-1)

但是似乎還有個問題？如何判斷a是否有逆元呢??

檢驗?zāi)嬖男再|(zhì)，看求出的冪值x與a相乘是否為1即可

PS:這種算法復(fù)雜度為O（log2N）在幾次測試中，常數(shù)似乎較上種方法大

當(dāng)p比較大的時候需要用快速冪求解

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當(dāng)模p不是素數(shù)的時候需要用到歐拉定理

a^phi(p)≡1 ? ? ? ? ? ? ? (mod p)

a*a^(phi(p)-1)≡1 ? ? ?(mod p)

a^(-1)≡a^(phi(p)-1)? (mod p)

所以
時間復(fù)雜度即求出單個歐拉函數(shù)的值

(當(dāng)p為素數(shù)的時候phi(p)=p-1,則phi(p)-1=p-2可以看出歐拉定理是費馬小定理的推廣)

PS：這里就貼出歐拉定理的板子，很少會用歐拉定理求逆元

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3.特殊情況

一：

當(dāng)N是質(zhì)數(shù)，?
這點也很好理解。當(dāng)N是質(zhì)數(shù)，0 < a < N時，，則a肯定存在逆元。?
而解出的就滿足，故它是a的逆元。

在CF 696C，

求解就灰常方便了…

二：

求逆元一般公式(條件b|a)

ans=a/bmodm=amod(mb)/b

公式證明：

PS:實際上a mod (bm)/b這種的對于所有的都適用，不區(qū)分互不互素,而費馬小定理和擴(kuò)展歐幾里得算法求逆元是有局限性的，它們都會要求與互素，如果a與m不互素，那就沒有逆元，這個時候需要a mod (bm)/b來搞（此時就不是逆元的概念了）。但是當(dāng)a與m互素的時候，bm可能會很大，不適合套這個一般公式，所以大部分時候還是用逆元來搞

4.逆元打表

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有時會遇到這樣一種問題，在模質(zhì)數(shù)p下，求1~n逆元 n< p（這里為奇質(zhì)數(shù)）。可以O(shè)(n)求出所有逆元，有一個遞推式如下

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???????????????????

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它的推導(dǎo)過程如下，設(shè)，那么

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???? ??

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對上式兩邊同時除，進(jìn)一步得到

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???????

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再把和替換掉，最終得到

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???????

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初始化，這樣就可以通過遞推法求出1->n模奇素數(shù)的所有逆元了。

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另外有個結(jié)論模的所有逆元值對應(yīng)中所有的數(shù)，比如，那么對應(yīng)的逆元是。

typedef long long ll; const int N = 1e5 + 5; int inv[N];void inverse(int n, int p) {inv[1] = 1;for (int i=2; i<=n; ++i) {inv[i] = (ll) (p - p / i) * inv[p%i] % p;} }

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轉(zhuǎn)自：https://blog.csdn.net/guhaiteng/article/details/52123385

更多例題：https://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/8220787

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線性求逆元? ?題目

ll c(int r,int l) {if (r<l) return 0;return jie[r]*inv[l]%mod*inv[r-l]%mod; } int main() {jie[1] = 1;jie[0] = 1;inv[1] = 1;inv[0] = 1;for(int i = 2; i<=MAX-1; i++) jie[i] = (jie[i-1] * i)%mod;for(int i = 2; i<=MAX-1; i++) {inv[i] = (mod - mod/i*inv[mod%i]%mod)%mod;} //這兩個求逆元的公式都可以使用 // for (int i=2; i<MAX; i++) { // inv[i]=inv[mod%i]*(mod-mod/i)%mod; // } //預(yù)處理逆元的前綴積for (int i=2; i<MAX; i++) inv[i]=inv[i-1]*inv[i]% mod;

線性求逆元??題目

const ll mod = 1000000000+7; const ll N = 300000+5; const ll M = 3e5+3; int n; ll fac[1000005]; //階乘 ll inv_of_fac[1000005]; //階乘的逆元 int a[15]; ll dp[150][12]; ll qpow(ll x,ll n) {ll ret=1;for(; n; n>>=1){if(n&1) ret=ret*x%mod;x=x*x%mod;}return ret; } void init() {fac[1]=1;for(int i=2; i<=M; i++)fac[i]=fac[i-1]*i%mod;inv_of_fac[M]=qpow(fac[M],mod-2);for(int i=M-1; i>=0; i--)inv_of_fac[i]=inv_of_fac[i+1]*(i+1)%mod;//inv_of_fac[i]=qpow(fac[i],mod-2);//為什么不行啊 //也行 } ll C(ll a,ll b) {if(b>a) return 0;if(b==0) return 1;return fac[a]*inv_of_fac[b]%mod*inv_of_fac[a-b]%mod; }

咖啡雞的求逆元：

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int maxn=4005; const int E=2000; typedef long long ll; const ll M=1000000007; ll f[maxn],nf[maxn],inv[maxn],dp[2][maxn]; int n,m; ll C(ll x,ll y){return f[x]*nf[y]%M*nf[x-y]%M; } ll K(ll x){return C(x*2,x)*inv[x+1]%M; } void add(ll &x,ll y){x+=y; if (x>=M) x-=M; } int main(){inv[1]=1; for (int i=2;i<maxn;i++) inv[i]=M-(M/i)*inv[M%i]%M;f[0]=nf[0]=1; for (int i=1;i<maxn;i++) f[i]=f[i-1]*i%M,nf[i]=nf[i-1]*inv[i]%M;return 0; }

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的无数种求逆元的方法总结的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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