轉自：矩陣變換坐標系 深入理解 - 知乎

網址鏈接：從坐標系圖中理解“空間變換”

小談矩陣和坐標變換

矩陣坐標系變化理解

讓我們從一個實際的例子入手：下圖是一個用兩維的笛卡爾坐標系表示的二維空間。

其中，黑色坐標系 x-y代表一個二維空間；藍色坐標系 i-j代表另外一個二維空間。已知藍色坐標系軸在黑色坐標系下對應的值是i=(1,1), j=(-1,1)，又知橙色向量 p 處在 i-j 空間中，其坐標值為(2,1)。現在的問題是，這個?p?被轉換到黑色坐標系 x-y 空間下它的坐標值是什么？

解決這個問題一個最關鍵也最直接的想法是“向量分解與再合成”。

p?可以被分解到 i 和?j?兩個方向，得到?p= 2i+j；同時 i 又可以分解到 x 和?y?兩個方向，得到 i = x + y，另外?j?也可以分解得到?j?= -x?+?y。于是，我們全部展開，就得到?p(i-j)?= 2i?+?j?= 2(x?+?y) + (-x?+?y) =?x?+ 3y?=?p(x-y) 。

因此點?p?在?x-y?空間下的坐標值為(1,3)。

這種方法可以用來討論更一般的情況。假設p點在?i-j?坐標系下為(k1,k2)，在?x-y?坐標系下為(q1,q2)。同樣地有基向量 i 對應在?x-y?空間中為(m1,m2)；j?對應在?x-y?空間中為(n1,n2)。

于是我們有以下推導，

i?= m1x?+ m2y，j?= n1x?+ n2y

于是，

p(i-j)?= k1i + k2j

= k1(m1x?+ m2y) + k2(n1x?+ n2y)

= (k1m1 + k2n1)x?+ (k1m2 + k2n2)y

于是，

p(i-j)?= (k1m1 + k2n1, k1m2 + k2n2)

= (q1, q2)

=?p(x-y)

得到，

q1 = k1m1 + k2n1

q2 = k1m2 + k2n2

變換成矩陣形式:

其中(k1,k2)是?i-j?空間下的坐標值，而(q1,q2)是?x-y?空間下的坐標值。中間的矩陣就是用來做轉換的矩陣。從中我們可以發現，如果豎著來觀察，向量(m1,m2)就是基向量?i?在?x-y?空間下的坐標值，而向量(n1,n2)則是基向量?j?在?x-y?空間下的坐標值。這個矩陣，實際上就是由空間?i-j?下的基向量在空間?x-y?下的坐標值構成的。

1 矩陣的行序和列序（也稱行優先或列優先）僅僅是指矩陣的存儲方式，即我們如果用一個4*4數組m存儲矩陣，如果m[0][0]-m[0][3]連續存儲了矩陣的第一行，那么就是行優先，反之就是列優先。無論是行優先還是列優先，它們代表的數學意義是相同的。
2 如果矩陣是行序，那么它的第一列（m[0][0],m[1][0],m[2][0]）就代表X變換，第二列就是Y變換，第三列就是Z變換。
我們來看看為什么：
剛才提到矩陣把線性空間中的一個點給變換到另一個點，不妨稱變換前的點為P1(x1,y1,z1)，變換后的點為P2(x2,y2,z2）：
那么根據線代中的矩陣乘法，P1 * M = P2展開就成了：
m00,m01,m02
(x1,y1,z1) * m10,m11,m12 = x1*m00+y1*m10+z1*m20+ x1*m01*
m20,m21, m22 y1*m11+z1*m21,x1*m02+y1*m12+z1*m22

所以：
x2 = x1*m[0][0] + y1*m[1][0] + z1*m[2][0];
y2 = x1*m[0][1] + y1*m[1][1] + z1*m[2][1];
z2 = x1*m[0][2] + y1*m[1][2] + z1*m[2][2];
看出什么了嗎？
如果把一個行序矩陣（接下來討論的都是行序矩陣，就省略行序二字了）的每一列分別用X,Y,Z三個矢量來表示，那么M就表示為：XYZ三根軸。
現在，矩陣M看起來是不是很像一個坐標系？而P1到P2的變換就是P1分別與X,Y,Z的點積！
也就是矩陣M是把P1從老坐標系變換到新坐標系，而矩陣的三列（三根軸）就分別代表了新坐標系的三根軸在老坐標系中的坐標！
而點積的幾何意義其實就是求取投影！所以坐標變換的幾何本質（剛才已經討論過其代數本質），就是把一個點分別投影到三根軸上去而已！
再仔細想一想，P1在XYZ三根軸上的投影，不正是它在新坐標系下的坐標嗎？這樣一來，坐標變換是不是就太容易理解了呢？

綜上理解得出:

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【转】矩阵变换坐标系 深入理解的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。