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一. 定義

1.1 圖的基本概念

圖或有序對或序偶（P1）、有限圖/平凡圖/非平凡圖/空圖（P1）、頂點數或階數/邊數/重數/重邊/環（P1）、簡單圖/復合圖（P1）、相鄰（P2）、相關聯（P2）、同構

（P2, PPT1-26-29的例2-例5, PPT1-30的同構實際意義）、非標定(號)圖/ 標定(號)圖（P2）、完全圖 （P2）、偶圖（P2）、完全偶圖 （P2）、補圖 /自補圖（P3）、度 （P3）、最小度 （P3）、最大度 （P3）、奇點/偶點（P3）、 正則圖（P3）、度序列（P4）、圖劃分（P4）、可圖（P4）、頻序列（P5）、子圖（P5）、真子圖（P6）、生成子圖（P6,PPT3-8的例2）、導出子圖（P6，PPT3-6的例1）、邊導出子圖（P6,PPT3-7的例2）、不相交的（P6）、邊不重的（P6）、并圖 （P6）、交圖 （P6）、差 （P6）、對稱差 （P6）、聯圖 （P7）、積圖 （P8）、合成圖 、方體（P9, PPT3-29的遞歸構造方法）、途徑/ 跡/ 路（P10）、回路/閉跡/圈/奇圈/偶圈（P10）、連通圖（P10）、連通分支或分支 （P10）、分支數（P10）、距離/直徑（P10）、賦權圖（P11）、最短路（P11）、鄰接矩陣（P15）、關聯矩陣（P16，P16例1）、鄰接代數（P17）、 部圖（P20）、完全 部圖（P20）、完全 幾乎等部圖（P21）、完全 等部圖（P21）、度序列優于/度序列弱于（P22）注意：
1. 圖的四種二元運算（ ）后得到的新圖的點數和邊數（P9，注意：積圖是合成圖的子圖）（PPT13-8例2）。
2. 偶圖不能有環，偶圖可以有重邊。
3. 無限圖也是大量存在的，比如正整數集合上的“整除關系”圖就是一個無限圖。
4. 對于“補圖”的概念要注意：只有簡單圖才能定義補圖。對于“自補圖”，并不是任意一個簡單圖都是自補圖。
5. 一個圖的度序列與序列中的元素排列無關，給定一個圖，只對應唯一一個度序列，同構的圖具有相同的度序列。
6. 圖的積運算是網絡構造的常用方法。并行計算機中的網絡拓撲常采用所謂的“超立方體”結構。采用該結構可使網絡具有較好的可靠性、較小的通信延遲和很好的可擴展性以及便于并行編程等優點。

1.2 樹

樹（P31，PPT6-5的例1, 一個點也是樹）、森林（P31）、樹葉（P31）、分支點（P31）、平凡樹（P31）、最小連通圖（P33）、離心率（P34）、半徑（P34）、直徑（P34）、中心點（P34）、中心（P34, 比如社區醫院的修建位置上就可以建在圖的中心）、分支（P34）、權（P34）、形心點（P34）、形心（P34）、生成樹（P35）、生成森林（P35）、樹枝（P35）、弦（P35）、基本回路（P38）、基本回路系統（P38）、最小生成樹（P40）

根樹（P217）、樹根（P217）、樹葉（P217）、內點（P217）、分支點（P217）、層數（P217）、高（P217）、祖先（P218）、父親（P218）、兒子（P218）、兄弟（P218）、有序樹（P218）、外向樹（P218）、內向樹（P218）、m元樹（P218）、m元完全樹（P218）、最優二元樹（P221，P221例5）、前綴（P224，P224例7和例8）

注意：
1. 要會聯系概念，并對概念有一定深度的理解。比如“樹不一定是偶圖”，因為樹里面還有平凡樹，平凡樹不是偶圖。但如果說“非平凡樹一定是偶圖”就是正確的。
2. 樹是圖論中應用最為廣泛的一類圖。在理論上，由于樹的簡單結構，常常是圖論理論研究的“試驗田”。在實際問題中，許多實際問題的圖論模型就是樹。

1.3 圖的連通度

割邊（P46）、割點（P46）、塊（P47，及P47的例2, PPT9-14的例5）、塊割點樹（PPT9-19, 其為了直觀反映圖的塊和割點之間的聯系, PPT9-19的例6）、頂點割或點割（P50）、最小點割（P50，P50例1）、連通度

（P50，P50例2）、 連通的（P50）、邊割（P50）、最小邊割（P51）、邊連通度 （P51，P51例3）、 邊連通的（P51）、哈拉里圖（PPT10-13, 涉及可靠性通信網絡構建）、點獨立路（P53）、點分離集合（P54）注意：
1. 圖的連通程度的高低，是圖結構性質的重要表征，圖的許多性質都與其相關，例如：連通圖中任意兩點間不相交路的條數就與圖的連通程度有關。
2. 對于割點的定義：當且僅當 ，其前提是 無環且非平凡。
拓展：
1. 描述連通性的其它參數，包括圖的堅韌度、圖的核度等，參見PP10-20起。
2. 圖的寬直徑相關概念，參見PPT11-12起。用來度量網絡的傳輸延遲。

1.4 Euler圖與Hamilton圖

Euler閉跡 / Euler圖（P70，歐拉閉跡又稱為歐拉環游或歐拉回路, 歐拉圖簡稱為E圖）、Euler跡 / 半Euler圖（P69/ P70）、最優環游（P76）、Hamilton路 / Hamilton圖（P78，哈密爾頓路簡稱H路，哈密爾頓圖也簡稱H圖）、Hamilton圈（P78）、閉圖（P80）、閉包（P81和構造算法）、度極大非Hamilton圖族（P84,定義為

, 實際上用, P85例1）、旅行售貨員問題TSP（P87）、最優 圈（P87）、超 圖 / 超可跡的（P89/ P90）、Peterson圖 / Thomassen圖（P90）、線圖 （P94, 對于線圖是對于n次迭代后而言的）、細分圖 （P95, 細分圖也是對于幾次細分而言的）注意：
1. 對于閉圖的概念，要注意邏輯，如果沒有 的點，則也是閉圖。
2. 注意度極大非H圖族中 有個范圍的哦！這樣就不用畫那么多啦！
3. 如何理解“從表面上看， E圖與H圖間沒有聯系“？因為我們可以不費力地找到: (1) E圖但非H圖； (2) E圖且H圖； (3) H圖但非E圖; (4) 非E圖且非H圖（這里就要注意邏輯了！就像量子力學波函數的奇怪之處，當時也是窮舉了所有的邏輯也找不出）。為了聯系它們，于是引入了“線圖”，目的是為了從線圖的角度考慮E圖與H圖。線圖有如下性質：（1）若 是 的邊，則 作為 的頂點度數為 ；（2）若 ，則線圖 邊數為 ; (3) 一個圖同構于它的線圖，當且僅當它是圈；(4) 若圖 和 有同構的線圖，則除了一個是 而另一個是 外， 和 同構。關于它們的證明參見PPT16-25起。
4. 對于圖 的線圖和細分圖，有 。

1.5 匹配與因子分解

匹配（P100, 又稱為對集或邊獨立集, 注意不含環哦！）、M飽和點/M非飽和點（P100）、完美匹配（P100，PPT17-21例2(2)）、最大匹配（P100）、M交錯路（P100）、M可擴充路（P100, PPT17-9, 要會找）、S的鄰集或鄰域

（P101）、(點) 覆蓋（P102）、最小(點) 覆蓋（P102, 其中包含的點數稱為覆蓋數，記為 ）、奇分支 （P104）、偶分支（P104）、因子分解（P106）、n-因子（P106, PPT18-10例子）、n-因子分解（P106）、n-可因子化的（P106）、森林因子分解（PPT18-20及例子)、蔭度 （P109, 記為 ）、M非飽和點（P111）、M可擴路（P111）、M交錯樹（P111）、最優匹配（P113）、可行頂點標號（P114）、相等子圖（P114）注意：
1. 對于匹配問題，不要一開始就默認把它按照偶圖來想象。注意：(1) 一個圖不一定有完美匹配，若有，則每個完美匹配都是最大匹配（注意完美匹配和最大匹配的關系）;(2)一個圖的最大匹配和完美匹配(若存在)偶不一定唯一。
2. 對于M飽和點/M非飽和點，要等劃分好匹配后才能確定，而且劃分的方法可以不止一種，因此同一個點也可以有多種情況。
3. M可擴路在匹配擴大過程中起到很大的作用，給予它可以擴充匹配。
4. 若 有一個1-因子（其邊集為完美匹配），則顯然 是偶階圖。特別地， 不能有1-因子，但 有一因子。這樣將完美匹配和1-因子分解聯系了起來（P117-3）。
5. 圖的一個一因子實際上就是圖的一個完美匹配的導出子圖。一個圖能夠作一因子分解，也就是它能夠分解為若干邊不重的完美匹配的導出子圖之并。

1.6 平面圖

可嵌入平面（或可平面圖）/ 一種平面嵌入 / 平面圖（P119）、面/ 外部面（或無限面）（P120, 面組成的集合用

表示）、面的邊界 / 次數 （P120，P121例2，割邊計算兩次）、極大可平面圖/極大平面圖（P127, 注意定義中包含倆情況奧！且僅對于簡單圖而言的！）、極小不可平面圖（P129）、外可平面圖 / 外平面圖（（P129及例子,能圍住即可/ P129）、極大外可平面 / 極大外平面圖（P129/ P129及例圖）、對偶圖 （P132及例3構造過程及表6-2的對應關系）、基本非平面圖（Kuratowaki圖）（P134）、在2度頂點內擴充或收縮（P134及例子）、同胚的（P134）、基礎簡單圖（P135）、初等收縮（P136及例子， ）、關系 （P139，具有自反性、對稱性和傳遞性）、橋（P139及例1）、附著頂點（P139）、 容許的（P139及例2）、可畫入（P140）注意：
1. PPT20-4至8舉例說明了研究本章內容在實際生活中的應用價值。
2. 平面圖及其偶圖的一些性質：(1) 的點數= 的面數；(2) 的邊數= 的邊數；(3) 的面數= 的點數；(4) 。
3. 對外可平面圖G來說，一定存在一種外平面嵌入，使得G的頂點均在外部面的邊界上。這由球極投影法可以說明。且要知道：設G是一個連通簡單外可平面圖，則在G中存在度數至多是2的頂點。
補充：
1. 涉及平面性的不變量，即如何刻畫一個非可平面圖與平面圖之間的差距，參見PPT22-21起。

1.7 圖的著色

k邊著色/ 色集/ 邊著色是正常的（P147）、邊色數

（P147）、 邊可著色的（P147）、劃分/ 分劃（P148, 分別滿足3個條件和其中的2個條件）、色組 （P148, 有可能）、著色是正常的/ 色數 / 可著色的（P152）、色組 （P153）、色劃分（P153）、 色圖（P153）、次大度 （PPT25-15, PPT25-16的例子）、色多項式 （P166以及5個性質）、理想子圖（P169及例2, ）、伴隨多項式 （P170）注意：
1. PPT24-4和PPT25-3分別舉例說明了本章內容在現實中的應用價值。對圖的正常邊著色，實際上是對G的邊集合的一種劃分，使得每個劃分塊是G的一個邊獨立集(無環時是匹配);圖的邊色數對應的是圖的最小獨立集劃分數。因此，圖的邊著色，本質上是對應實際問題中的“劃分”問題或“分類”問題。
2. 色多項式是對于點著色而言的，且 表示“最多”用k種顏色。用色多項式計算時的核心套路就是遞推，其遞推公式為 ，其遞推之母為和 。

1.8 Ramsey定理

點獨立集/最大獨立集/獨立數

（P191）、點覆蓋/最小點覆蓋/最小點覆蓋數 （P191）、邊覆蓋/最小邊覆蓋/邊覆蓋數 （P192）、邊獨立數 （P192）、 臨界點（P193）、 臨界邊（P193）、 點臨界的（P194）、 邊臨界的（P194）、Ramsey數（P197, PPT28-18的例2, PPT28-21的例4）注意：
1. ，，， 要會求，參見PPT28-10的例1。
2. 有 臨界邊的圖必有 臨界點，但有 臨界點的圖不一定有 臨界邊。
補充：
1. 拉姆齊數的計算很難，所以研究拉姆齊數的上下界是該問題的主題。綜述的一些結果參見PPT28-20起。

1.9 有向圖

有向圖 (PPT29-3, 用三元組定義)、始點/終點（P209）、重數（PPT29-4）、基礎圖（P209）、定向圖（P209, PPT29-7的例1）、出度

/入度 （P210）、有向圖 的鄰接矩陣和關聯矩陣（P210）、 重邊/重數/單邊（P211）、簡單有向圖（P211）、 可達 （P212）、強連通的/單向連通的/弱連通的（連通）（P212）、強（單向、弱）連通分支（P213, PPT29-15的例3）、

二. 定理

2.1 圖的基本概念

1. 若

階圖 是自補的（即 ），則 。（P3證明，必要條件，但不是 充分條件, PPT2-13的例2）

2. 圖

中所有頂點的度的和等于邊數 的2倍，即 。（P4證明, PPT2-19的例3）推論1：在任何圖中，奇點個數為偶數。（P4證明）
推論2：正則圖的階數和度數不同時為奇數。（P4證明）

3. 設有非負整數組

，且 是一個偶數， ，它是可圖的充要條件為 是可圖的。（P5例子，P30-11）圖序列判斷充要條件： 非負整數組 ， ， 是圖序列的充分必要條件是 。（該定理只能做判斷，定理證明比較困難。

4. 一個簡單圖

的 個點的度不能互不相同。（P5證明）

5. 一個

階圖 和它的補圖 有相同的頻序列。（P5證明）

6. 簡單圖

中所有不同的生成子圖（包括 和空圖）的個數是 個。（P6證明）

7. 若圖

是不連通的，則 是連通圖。（P10證明）

8. (偶圖的判定定理) 一個圖是偶圖當且僅當它不包含奇圈。（P10-11證明）

9. 代數圖論的相關定理：

(1）

連通的充分必要條件是： 不能與如下矩陣相似： 。(PPT4-6的證明）

(2) 令

是一個有推廣的鄰接矩陣 的 階標定圖，則 的 行 列元素 等于由 到 的長度為 的通道的數目。（P16證明）推論：設 為簡單圖 的鄰接矩陣，則 (a) 的元素 是 的度數， 的元素 是含 的三角形的數目的兩倍；(b) 若 是連通的，對于 ， 與 之間的距離是使 的 的最小整數 。

(3)

階連通圖 的鄰接代數的維數有 。（P17證明）

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的离散数学图论旅行规划问题_《图论及其应用》（一）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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