離散數(shù)學(xué)思維導(dǎo)圖

大綱：

預(yù)備知識(shí)1.集合論set表示方法大寫字母表示枚舉法(顯示法)敘述法(隱式法)歸納法遞歸指定集合法文氏圖解法幾個(gè)特殊集合空集(絕對(duì)唯一）全集(相對(duì)唯一）無限集等勢(shì)一一對(duì)應(yīng)兩個(gè)有限集合等勢(shì)當(dāng)且僅當(dāng)它們的元素個(gè)數(shù)相同；可數(shù)集合可以和其可數(shù)的真子集等勢(shì).可數(shù)集合基數(shù)(阿列夫0)∈阿列夫1(開區(qū)間(0,1)的基數(shù))不可數(shù)集合既不是有限集也不是可數(shù)集的集合重要定義集合A的元素個(gè)數(shù): |A|(基數(shù))集族(Power Set)集合作為元素構(gòu)成冪集所有不同子集構(gòu)成⊕：對(duì)稱差運(yùn)算補(bǔ)集相對(duì)補(bǔ)集A-B(差集)德摩根律重要題型數(shù)理邏輯命題邏輯聯(lián)結(jié)詞┐否定∧合取∨析取異或“P異或Q”稱為P與Q的不可兼或→蘊(yùn)涵P稱為蘊(yùn)涵式的前件，Q稱為蘊(yùn)涵式的后件若P，則QP僅當(dāng)Q只要P， 就Q只有Q，才P除非Q，才P除非Q，否則非PP是Q的充分條件P→Q為假當(dāng)且僅當(dāng)P為真且Q為假?等價(jià)P當(dāng)且僅當(dāng)Q優(yōu)先級(jí)：否定→合取→析取→蘊(yùn)涵→等價(jià)命題公式分類永真公式(重言式)滿足式(一定)永假公式(矛盾式)G在解釋Ｉ下是真的:Ｉ滿足G； G在解釋Ｉ下是假的:Ｉ弄假于G.公式G、H等價(jià) ? 公式G?H是永真公式G = H 不是命題公式， G?H是命題公式范式定義命題變?cè)蛎}變?cè)姆穸ǚQ為文字有限個(gè)文字的析取稱為析取式(也稱為子句）有限個(gè)文字的合取稱為合取式(也稱為短語）P與┐P稱為互補(bǔ)對(duì)包括單個(gè)有限個(gè)短語的析取式稱為析取范式有限個(gè)子句的合取式稱為合取范式主析取范式每一個(gè)短語都是極小項(xiàng)必須且只能包含使得公式真值為真的那些解釋對(duì)應(yīng)的極小項(xiàng)主合取范式每一個(gè)子句都是極大項(xiàng)必須且只能包含使得公式真值為假的那些解釋對(duì)應(yīng)的極大項(xiàng)求解方法等價(jià)式和蘊(yùn)涵式(Ｇ→Ｈ) = (┐Ｇ∨Ｈ)(Ｇ?Ｈ) = (Ｇ→Ｈ)∧(Ｈ→Ｇ) = (┐Ｇ∨Ｈ)∧(┐Ｈ∨Ｇ)德?摩根定律┐(┐Ｇ) =Ｇ；┐(Ｇ∨Ｈ) =┐Ｇ∧┐Ｈ；┐(Ｇ∧Ｈ) =┐Ｇ∨┐Ｈ。分配定律Ｇ∨(Ｈ∧Ｓ) = (Ｇ∨Ｈ)∧(Ｇ∨Ｓ)Ｇ∧(Ｈ∨Ｓ) = (Ｇ∧Ｈ)∨(Ｇ∧Ｓ)包括單個(gè)總結(jié)若單個(gè)的子句（短語）無 最外層括號(hào)，則是合取范式（析取范式）；析取范式、合取范式僅含聯(lián)結(jié)詞集{┐，∧，∨}；“┐”聯(lián)結(jié)詞僅出現(xiàn)在命題變?cè)?推理推論概念反映客觀對(duì)象或現(xiàn)象的共同本質(zhì)屬性的思維形式任何概念都是內(nèi)涵和外延的統(tǒng)一體。內(nèi)涵概念的質(zhì)外延概念的量若H是G1∧G2∧…∧Gn的邏輯結(jié)果則efficacious(有效的)Г={G1,G2,…,Gn}H是G的邏輯結(jié)果(或稱G蘊(yùn)涵H當(dāng)且僅當(dāng)G→Ｈ為永真公式G為前提PremiseH為結(jié)論conclusion判斷方法真值表技術(shù)對(duì)所有G1,G2,…,Gn都具有真值T的行(表示前提為真的行),如果在每一個(gè)這樣的行中，H也具有真值T對(duì)所有H具有真值為F的行(表示結(jié)論為假的行),如果在每一個(gè)這樣的行中，G1,G2,…,Gn中至少有一個(gè)公式的真值為F(前提也為假)推理定律演繹法規(guī)則P（稱為前提引用規(guī)則）規(guī)則T（邏輯結(jié)果引用規(guī)則）規(guī)則CP（附加前提規(guī)則）反證法謂詞邏輯解決“命題的結(jié)構(gòu)和成分”有關(guān)的推理問題基本概念Universal Quantifier全稱量詞Existential Quantifier存在量詞Individual個(gè)體詞不能隨意變更順序取值范圍：Individual Field 個(gè)體域(或論域)全總個(gè)體域(Universal Individual Field)P(x)x：個(gè)體詞P：謂詞P(x):命題函數(shù)Predicate謂詞0元命題一元某一個(gè)個(gè)體的某種特性n元n個(gè)個(gè)體之間的關(guān)系項(xiàng)與原子公式項(xiàng)(Term)（1）任意的常量符號(hào)或任意的變量符號(hào)是項(xiàng)；（2）若f(x1, x2, …, xn)是n 元函數(shù)符號(hào)，t1,t2,…,tn是項(xiàng)，則f(t1, t2, …, tn)是項(xiàng)；（3）僅由有限次使用(1)，(2)產(chǎn)生的符號(hào)串才是項(xiàng)。原子公式(Atomic Formulae)若P(x1,x2,…,xn)是n 元謂詞，t1，t2，…，tn是項(xiàng)，則稱P(t1,t2,…,tn)為原子謂詞公式(Atomic Propositional Formulae)存在：合取 任意：蘊(yùn)含x : Function Variable作用變量F(x) : Scope轄域自由主題樹定義無向樹連通而不含回路的無向圖簡稱樹(Tree)，常用T表示樹。葉樹中度數(shù)為1的結(jié)點(diǎn)分支點(diǎn)度數(shù)大于1的結(jié)點(diǎn)內(nèi)部結(jié)點(diǎn)森林每個(gè)連通分支都是樹的無向圖生成樹給定圖G = <V, E>，若G的某個(gè)生成子圖是樹樹枝生成樹TG中的邊弦G中不在TG中的邊補(bǔ)TG的所有弦的集合稱為生成樹權(quán)T的每個(gè)樹枝所賦權(quán)值之和最小生成樹G中具有最小權(quán)的生成樹有向樹一個(gè)有向圖，若略去所有有向邊的方向所得到的無向圖是一棵樹有序樹如果在根樹中規(guī)定了每一層上結(jié)點(diǎn)的次序k元樹若每個(gè)分支點(diǎn)至多有k個(gè)兒子k元完全樹若每個(gè)分支點(diǎn)都恰有k個(gè)兒子k元有序完全樹k元完全樹T是有序的子樹任一結(jié)點(diǎn)v及其所有后代導(dǎo)出的子圖T’稱為T的以v為根決策樹有一棵根樹，如果其每個(gè)分支點(diǎn)都會(huì)提出一個(gè)問題，從根開始，每回答一個(gè)問題，走相應(yīng)的邊，最后到達(dá)一個(gè)葉結(jié)點(diǎn)，即獲得一個(gè)決策!算法Kruskal算法Prim算法哈夫曼算法定理樹邊數(shù)最多的無回路圖邊數(shù)最少的連通圖無向圖G = (n, m)中，若m＜n-1，則G是不連通的若m＞n-1，則G必含回路圖論握手定理推論：圖中度數(shù)為奇數(shù)的結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為偶數(shù)。同構(gòu)必要條件（1）結(jié)點(diǎn)數(shù)目相同； （2）邊數(shù)相同； （3）度數(shù)相同的結(jié)點(diǎn)數(shù)相同。邊數(shù)最大值連通性連通圖強(qiáng)連通圖G中任何一對(duì)結(jié)點(diǎn)之間都是相互可達(dá)的它的可達(dá)性矩陣P的所有元素均為1；單向連通圖若G中任何一對(duì)結(jié)點(diǎn)之間至少有一個(gè)結(jié)點(diǎn)到另一個(gè)結(jié)點(diǎn)是可達(dá)的它的可達(dá)性矩陣P及其轉(zhuǎn)置矩陣PT經(jīng)過布爾并運(yùn)算后所得的矩陣P’= P∨PT中除主對(duì)角元外其余元素均為1(弱)連通圖略去G中所有有向邊的方向得無向圖G’，如果無向圖G’是連通圖它的鄰接矩陣A及其轉(zhuǎn)置矩陣AT經(jīng)布爾并運(yùn)算所得的矩陣A’= A∨AT作為鄰接矩陣而求得的可達(dá)性矩陣P’中所有元素均為1。若有向圖G是強(qiáng)連通圖，則它必是單向連通圖；若有向圖G是單向連通圖，則它必是（弱）連通圖。分支應(yīng)用Floyd算法Dijkstra算法鄰接矩陣與可達(dá)性矩陣可達(dá)性矩陣二元關(guān)系關(guān)系的基本概念 有序偶對(duì)(序偶)兩個(gè)元素x,y按照一定的次序組成的二元組<x,y>其中稱x為<x,y>的第一元素，y為<x,y>的第二元素成對(duì)出現(xiàn)、具有一定的順序笛卡爾積(Descartes Product)集合：A×B＝{<x,y>|(x∈A)∧(y∈B)}為集合A與B的笛卡爾積對(duì)有限集A,B，有|A×B|=|B×A|=|A|×|B|A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C)關(guān)系(Relation)稱A×B的任何子集 R 為從A到B的二元關(guān)系A(chǔ)＝B，則稱R為A上的二元關(guān)系A(chǔ)稱為R的前域，B稱為R的后域當(dāng)R=Φ時(shí)，稱R為空關(guān)系(empty relation)；當(dāng)R=A×B時(shí)，則稱R為全關(guān)系(Total Relation)xRy<x,y>∈Rx對(duì)y有關(guān)系R當(dāng)集合A,B都是有限集時(shí)，A×B共有2^(|A|?|B|)個(gè)不同的子集，即從A到B的不同關(guān)系共有2^(|A|?|B|)個(gè)。關(guān)系的表示與運(yùn)算集合表示法（枚舉法和敘述法）關(guān)系圖法關(guān)系矩陣關(guān)系矩陣是0-1矩陣，稱為布爾矩陣R∪S={<x,y>|(xRy)∨(xSy)} (即<x,y>∈R∨<x,y>∈S)復(fù)合運(yùn)算(RoS)oT = Ro(SoT)IAoR = RoIB = R逆運(yùn)算R-1＝{<b,a>|<a,b>∈R}(RoS)-1 = S-1oR-1冪運(yùn)算設(shè)R是集合A上的關(guān)系，則R的n次冪，記為Rn，定義如下：R0＝IA＝{<a,a>|a∈A}；R1＝R；Rn+1＝RnoR＝RoRn關(guān)系的性質(zhì)與閉包 假定其前域和后域相同特殊關(guān)系等價(jià)關(guān)系設(shè)R是定義在非空集合A上的關(guān)系，如果R是自反的、對(duì)稱的、傳遞的，則稱R為A上的等價(jià)關(guān)系。事實(shí)上，對(duì)任意正整數(shù)n，整數(shù)集合Z的任意非空子集A上的關(guān)系，R={<x,y>|(x,y∈A)∧(n|(x-y))}，都是等價(jià)關(guān)系。 同余式上述R稱為Z上以n為模的同余關(guān)系(Congruence Relation)，記xRy為x＝y(mod n)等價(jià)類商集次序關(guān)系擬序關(guān)系偏序關(guān)系哈斯圖用小圓圈或點(diǎn)表示A中的元素，省掉關(guān)系圖中所有的環(huán)；（因自反性)對(duì)任意x,y∈A，若x＜y，則將x畫在y的下方，可省掉關(guān)系圖中所有邊的箭頭；（因反對(duì)稱性）對(duì)任意x,y∈A，若x＜y，且不存在z∈A，使得x＜z, z＜y，則x與y之間用一條線相連，否則無線相連。（因傳遞性）設(shè)<A,≤>是偏序集，B是A的任何一個(gè)子集。若存在元素a∈A，使得對(duì)任意x∈B，都有x≤a，則稱a為B的上界；對(duì)任意x∈B，都有a≤x，則稱a為B的下界；若元素a′∈A是B的上界，元素a∈A是B的任何一個(gè)上界，若均有a′≤a，則稱a′為B的最小上界或上確界。記a′= SupB；若元素a'∈A是B的下界，元素a∈A是B的任何一個(gè)下界，若均有a≤a′，則稱a′為B的最大下界或下確界。記a′= InfB。全序關(guān)系全序關(guān)系是偏序關(guān)系，反之則不然。良序關(guān)系

總結(jié)

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