問(wèn)題：

給定一個(gè)字符串，僅由A、B、C3個(gè)字母組成。當(dāng)出現(xiàn)連續(xù)兩個(gè)不同的字母時(shí)，你可以用另外一個(gè)字母替換它，如有AB或BA連續(xù)出現(xiàn)，你把它們替換為字母C；有AC或CA連續(xù)出現(xiàn)時(shí)，你可以把它們替換為字母B；有BC或CB連續(xù)出現(xiàn)時(shí)，你可以把它們替換為字母A。可以不斷反復(fù)按照這個(gè)規(guī)則進(jìn)行替換，目標(biāo)是使得最終結(jié)果所得到的字符串盡可能短，求最終結(jié)果的最短長(zhǎng)度。

輸入：字符串。長(zhǎng)度不超過(guò)200，僅由ABC3個(gè)字母組成。 輸出：按照上述規(guī)則不斷消除替換，所得到的字符串最短的長(zhǎng)度。

?

例如：

輸入CAB，輸出2。因?yàn)槲覀兛梢园阉優(yōu)锽B或者變?yōu)镃C。

輸入BCAB，輸出1。我們可以把它變?yōu)锳AB到AC到B，也可以把它變?yōu)锽BB，但因?yàn)榍罢唛L(zhǎng)度更短，所以輸出1。

?

?

?

先給出幾個(gè)概念

純字符串：只含有一種字母的字符串稱(chēng)為純字符串，例如AAA就是一個(gè)純字符串

混字符串：含有至少兩種字母的字符串稱(chēng)為混字符串，例如ABC就是一個(gè)混字符串

最優(yōu)長(zhǎng)度：字符串通過(guò)消除的最終結(jié)果的最短長(zhǎng)度，稱(chēng)為該字符串的最優(yōu)長(zhǎng)度。上面的示例中，CAB的最優(yōu)長(zhǎng)度為2，BCAB的最優(yōu)長(zhǎng)度為1

最優(yōu)串：字符串通過(guò)消除達(dá)到最優(yōu)長(zhǎng)度時(shí)的字符串稱(chēng)為最優(yōu)串，最優(yōu)串可能不止一個(gè)。如CAB的最優(yōu)串為BB和CC，而B(niǎo)CAB的最優(yōu)串為B。最優(yōu)串一定是純字符串

統(tǒng)計(jì)向量：用（X，Y，Z）表示字符串的統(tǒng)計(jì)向量，其中X、Y、Z分別表示字符串中字母A、B、C的個(gè)數(shù)。上面的示例中，CAB的統(tǒng)計(jì)向量為（1，1，1），BCAB的統(tǒng)計(jì)向量為（1，2，1）

統(tǒng)計(jì)特征向量：用（X，Y，Z）表示字符串的統(tǒng)計(jì)特征向量，其中X、Y、Z分別表示字符串中字母A、B、C的個(gè)數(shù)的奇偶性，用“奇”、“偶”表示。CAB的統(tǒng)計(jì)特征向量為（奇，奇，奇），BCAB的統(tǒng)計(jì)特征向量為（奇，偶，奇）

?

?

?

再給出幾個(gè)推論

推論1：純字符串的最優(yōu)長(zhǎng)度就是純字符串的長(zhǎng)度。

很明顯的，只有一個(gè)字母，沒(méi)法消除，所以最優(yōu)長(zhǎng)度就是純字符串的長(zhǎng)度

?

推論2：在純字符串前或后加另一個(gè)字母得到新的混字符串，則新混字符串的最優(yōu)長(zhǎng)度為1

例如：BBBBBBBA。則消除的過(guò)程是，BBBBBBBA >> BBBBBBC >> BBBBBA >> BBBBC >> BBBA >> BBC >> BA >> C

其他的類(lèi)似，不再贅述

?

推論3：若純字符串的長(zhǎng)度為偶數(shù)，則在前或后添加另一個(gè)字母得到新的混字符串，則新混字符串的最優(yōu)串為添加的字母；若純字符串的長(zhǎng)度為奇數(shù)，則新混字符串的最優(yōu)串為剩下的一個(gè)字母

假設(shè)純字符串為BB，添加字母A，則新混字符串為BBA，BBA >> BC >> A

假設(shè)純字符串為BBBB，添加字母A，則新混字符串為BBBBA，BBBBA >> BBA >> A

以此類(lèi)推，推論3的前半部得證

假設(shè)純字符串為B，添加字母A，則新混字符串為BA，BA >> C

假設(shè)純字符串為BBB，添加字母A，則新混字符串為BBBA，BBBA >> BA >> C

以此類(lèi)推，推論3的后半部得證

?

推論4：混字符串的最優(yōu)長(zhǎng)度不超過(guò)2（為1或2）

證明：

首先混字符串通過(guò)不停的消除，最終能得到一個(gè)純字符串（因?yàn)槿暨€有不同的字母，則必相鄰，則還能繼續(xù)消除）。

若該純字符串的長(zhǎng)度為1或2，則證明了該推論（不過(guò)，就算純字符串長(zhǎng)度為2，還沒(méi)證明最優(yōu)長(zhǎng)度一定是2，可以肯定的是最優(yōu)長(zhǎng)度不超過(guò)2，即1或2都有可能）

若該純字符串的長(zhǎng)度大于2，不失一般性，假設(shè)該純字符串的長(zhǎng)度為K（K＞2），該純字符串都由字母B組成（字母A、C是一樣的），該純字符串是通過(guò)N（N≥1）步消除得到的

那么回退一步，第N-1步消除得到的混字符串為B……BACB……B，其中A前面有K₁個(gè)B，C后面有K₂個(gè)B，K₁+K₂=K-1。（也有可能是B……BCAB……B，和B……BACB……B是一致的，不再贅述了）

那么，根據(jù)K₁和K₂的取值不同，可以?xún)?yōu)化出不同的消除

K₁是奇數(shù)，K₂是奇數(shù)。利用推論3，可知B……BA >> C；CB……B >> A；B……BACB……B >> CA >> B，最優(yōu)串是B，最優(yōu)長(zhǎng)度為1

K₁是奇數(shù)，K₂是偶數(shù)。利用推論3，可知B……BA >> C；CB……B >> C；B……BACB……B >> CC，則最優(yōu)長(zhǎng)度不超過(guò)2（因?yàn)檫€沒(méi)法證明最優(yōu)長(zhǎng)度不會(huì)是1）

K₁是偶數(shù)，K₂是奇數(shù)。利用推論3，可知B……BA >> A；CB……B >> A；B……BACB……B >> AA，則最優(yōu)長(zhǎng)度不超過(guò)2（因?yàn)檫€沒(méi)法證明最優(yōu)長(zhǎng)度不會(huì)是1）

K₁是偶數(shù)，K₂是偶數(shù)。利用推論3，可知B……BA >> A；CB……B >> C；B……BACB……B >> AC >> B，最優(yōu)串是B，最優(yōu)長(zhǎng)度為1

綜上所述，混字符串的最優(yōu)長(zhǎng)度不超過(guò)2

?

推論5：統(tǒng)計(jì)特征向量為（奇，奇，奇）或（偶，偶，偶）的混字符串的最優(yōu)長(zhǎng)度為2；其余的混字符串的最優(yōu)長(zhǎng)度為1

證明：

考察一下，每次消除，統(tǒng)計(jì)特征向量的變化過(guò)程

?

假設(shè)字符串的統(tǒng)計(jì)特征向量為（奇，奇，奇）

假設(shè)消除是AC（或CA） >> B，則A和C的個(gè)數(shù)減1，而B(niǎo)的個(gè)數(shù)增加1，則統(tǒng)計(jì)特征向量變?yōu)?#xff08;偶，偶，偶）

假設(shè)消除是AB（或BA） >> C，則A和B的個(gè)數(shù)減1，而C的個(gè)數(shù)增加1，則統(tǒng)計(jì)特征向量變?yōu)?#xff08;偶，偶，偶）

假設(shè)消除是BC（或CB） >> A，則B和C的個(gè)數(shù)減1，而A的個(gè)數(shù)增加1，則統(tǒng)計(jì)特征向量變?yōu)?#xff08;偶，偶，偶）

綜上所述，統(tǒng)計(jì)特征向量為（奇，奇，奇）的混字符串，經(jīng)過(guò)1次消除后，統(tǒng)計(jì)特征向量變?yōu)?#xff08;偶，偶，偶）

同理可證，統(tǒng)計(jì)特征向量為（偶，偶，偶）的混字符串，經(jīng)過(guò)1次消除后，統(tǒng)計(jì)特征向量變?yōu)?#xff08;奇，奇，奇）

由此可知，反復(fù)消除后，統(tǒng)計(jì)特征向量為（奇，奇，奇）的混字符串的最優(yōu)串的統(tǒng)計(jì)特征向量是（偶，偶，偶）。（因?yàn)?strong>最優(yōu)串是純字符串，只能有1種字符，所以最優(yōu)串不可能是（奇，奇，奇））

同理可證，統(tǒng)計(jì)特征向量為（偶，偶，偶）的混字符串的最優(yōu)串的統(tǒng)計(jì)特征向量也是（偶，偶，偶）。

因此，統(tǒng)計(jì)特征向量為（奇，奇，奇）或（偶，偶，偶）的混字符串的最優(yōu)串的統(tǒng)計(jì)特征向量為（偶，偶，偶）

?

假設(shè)字符串的統(tǒng)計(jì)特征向量為（奇，偶，偶）

假設(shè)消除是AC（或CA） >> B，則A和C的個(gè)數(shù)減1，而B(niǎo)的個(gè)數(shù)增加1，則統(tǒng)計(jì)特征向量變?yōu)?#xff08;偶，奇，奇）

假設(shè)消除是AB（或BA） >> C，則A和B的個(gè)數(shù)減1，而C的個(gè)數(shù)增加1，則統(tǒng)計(jì)特征向量變?yōu)?#xff08;偶，奇，奇）

假設(shè)消除是BC（或CB） >> A，則B和C的個(gè)數(shù)減1，而A的個(gè)數(shù)增加1，則統(tǒng)計(jì)特征向量變?yōu)?#xff08;偶，奇，奇）

綜上所述，統(tǒng)計(jì)特征向量為（奇，偶，偶）的混字符串，經(jīng)過(guò)1次消除后，統(tǒng)計(jì)特征向量變?yōu)?#xff08;偶，奇，奇）

同理可證，統(tǒng)計(jì)特征向量為（偶，奇，奇）的混字符串，經(jīng)過(guò)1次消除后，統(tǒng)計(jì)特征向量變?yōu)?#xff08;奇，偶，偶）

由此可知，反復(fù)消除后，統(tǒng)計(jì)特征向量為（奇，偶，偶）的混字符串的最優(yōu)串的統(tǒng)計(jì)特征向量是（奇，偶，偶）。（因?yàn)?strong>最優(yōu)串是純字符串，只能有1種字符，所以最優(yōu)串不可能是（偶，奇，奇））

同理可證，統(tǒng)計(jì)特征向量為（偶，奇，奇）的混字符串的最優(yōu)串的統(tǒng)計(jì)特征向量也是（奇，偶，偶）。

因此，統(tǒng)計(jì)特征向量為（奇，偶，偶）或（偶，奇，奇）的混字符串的最優(yōu)串的統(tǒng)計(jì)特征向量為（奇，偶，偶）

?

同理可證

統(tǒng)計(jì)特征向量為（偶，奇，偶）或（奇，偶，奇）的混字符串的最優(yōu)串的統(tǒng)計(jì)特征向量為（偶，奇，偶）

統(tǒng)計(jì)特征向量為（偶，偶，奇）或（奇，奇，偶）的混字符串的最優(yōu)串的統(tǒng)計(jì)特征向量為（偶，偶，奇）

?

由推論4可知，混字符串的最優(yōu)長(zhǎng)度不超過(guò)2

如果，混字符串的最優(yōu)長(zhǎng)度為1，則最優(yōu)串是A，統(tǒng)計(jì)特征向量是（奇，偶，偶）；是B，統(tǒng)計(jì)特征向量是（偶，奇，偶）；是C，統(tǒng)計(jì)特征向量是（偶，偶，奇）

如果，混字符串的最優(yōu)長(zhǎng)度為2，則最優(yōu)串是AA或BB或CC，統(tǒng)計(jì)特征向量是（偶，偶，偶）

?

所以，統(tǒng)計(jì)特征向量為（奇，奇，奇）或（偶，偶，偶）的混字符串的最優(yōu)長(zhǎng)度是2。

統(tǒng)計(jì)特征向量為（奇，偶，偶）或（偶，奇，奇）的混字符串的最優(yōu)長(zhǎng)度為1，最優(yōu)串是A

統(tǒng)計(jì)特征向量為（偶，奇，偶）或（奇，偶，奇）的混字符串的最優(yōu)長(zhǎng)度為1，最優(yōu)串是B

統(tǒng)計(jì)特征向量為（偶，偶，奇）或（奇，奇，偶）的混字符串的最優(yōu)長(zhǎng)度為1，最優(yōu)串是C

?

證明完畢

?

?

結(jié)論：

1、純字符串的最優(yōu)串就是自身，最優(yōu)長(zhǎng)度就是自身的長(zhǎng)度

2、統(tǒng)計(jì)特征向量為（奇，奇，奇）或（偶，偶，偶）的混字符串的最優(yōu)長(zhǎng)度為2

3、其余的混字符串的最優(yōu)長(zhǎng)度是1，其中統(tǒng)計(jì)特征向量為（奇，偶，偶）或（偶，奇，奇）的混字符串的最優(yōu)串是A；統(tǒng)計(jì)特征向量為（偶，奇，偶）或（奇，偶，奇）的混字符串的最優(yōu)串是B；統(tǒng)計(jì)特征向量為（偶，偶，奇）或（奇，奇，偶）的混字符串的最優(yōu)串是C

? ? 本文轉(zhuǎn)自萬(wàn)倉(cāng)一黍博客園博客，原文鏈接：http://www.cnblogs.com/grenet/p/3300591.html，如需轉(zhuǎn)載請(qǐng)自行聯(lián)系原作者

創(chuàng)作挑戰(zhàn)賽新人創(chuàng)作獎(jiǎng)勵(lì)來(lái)咯，堅(jiān)持創(chuàng)作打卡瓜分現(xiàn)金大獎(jiǎng)

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的算法：字符串消除问题的数学证明的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

如果覺(jué)得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯(cuò)，歡迎將生活随笔推薦給好友。