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编程问答

Dijkstra算法与Floyd算法

發布時間：2023/12/10 编程问答 28 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了 Dijkstra算法与Floyd算法小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

最短路徑—Dijkstra算法和Floyd算法

注意：以下代碼只是描述思路，沒有測試過！！

Dijkstra算法

1.定義概覽

Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的單源最短路徑算法，用于計算一個節點到其他所有節點的最短路徑。主要特點是以起始點為中心向外層層擴展，直到擴展到終點為止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路徑算法，在很多專業課程中都作為基本內容有詳細的介紹，如數據結構，圖論，運籌學等等。注意該算法要求圖中不存在負權邊。

問題描述：在無向圖 G=(V,E) 中，假設每條邊 E[i] 的長度為 w[i]，找到由頂點 V0 到其余各點的最短路徑。（單源最短路徑）

2.算法描述

1)算法思想：設G=(V,E)是一個帶權有向圖，把圖中頂點集合V分成兩組，第一組為已求出最短路徑的頂點集合（用S表示，初始時S中只有一個源點，以后每求得一條最短路徑 , 就將加入到集合S中，直到全部頂點都加入到S中，算法就結束了），第二組為其余未確定最短路徑的頂點集合（用U表示），按最短路徑長度的遞增次序依次把第二組的頂點加入S中。在加入的過程中，總保持從源點v到S中各頂點的最短路徑長度不大于從源點v到U中任何頂點的最短路徑長度。此外，每個頂點對應一個距離，S中的頂點的距離就是從v到此頂點的最短路徑長度，U中的頂點的距離，是從v到此頂點只包括S中的頂點為中間頂點的當前最短路徑長度。

2)算法步驟：

a.初始時，S只包含源點，即S＝{v}，v的距離為0。U包含除v外的其他頂點，即:U={其余頂點}，若v與U中頂點u有邊，則<u,v>正常有權值，若u不是v的出邊鄰接點，則<u,v>權值為∞。

b.從U中選取一個距離v最小的頂點k，把k，加入S中（該選定的距離就是v到k的最短路徑長度）。

c.以k為新考慮的中間點，修改U中各頂點的距離；若從源點v到頂點u的距離（經過頂點k）比原來距離（不經過頂點k）短，則修改頂點u的距離值，修改后的距離值的頂點k的距離加上邊上的權。

d.重復步驟b和c直到所有頂點都包含在S中。

執行動畫過程如下圖

3.算法代碼實現：

const int MAXINT = 32767; const int MAXNUM = 10; int dist[MAXNUM]; int prev[MAXNUM];int A[MAXUNM][MAXNUM];void Dijkstra(int v0) {bool S[MAXNUM]; // 判斷是否已存入該點到S集合中int n=MAXNUM;for(int i=1; i<=n; ++i){dist[i] = A[v0][i];S[i] = false; // 初始都未用過該點if(dist[i] == MAXINT) prev[i] = -1;else prev[i] = v0;}dist[v0] = 0;S[v0] = true; 　　for(int i=2; i<=n; i++){int mindist = MAXINT;int u = v0; 　　 // 找出當前未使用的點j的dist[j]最小值for(int j=1; j<=n; ++j)if((!S[j]) && dist[j]<mindist){u = j; // u保存當前鄰接點中距離最小的點的號碼 mindist = dist[j];}S[u] = true; for(int j=1; j<=n; j++)if((!S[j]) && A[u][j]<MAXINT){if(dist[u] + A[u][j] < dist[j]) //在通過新加入的u點路徑找到離v0點更短的路徑 {dist[j] = dist[u] + A[u][j]; //更新dist prev[j] = u; //記錄前驅頂點 }}} }

4.算法實例

先給出一個無向圖

用Dijkstra算法找出以A為起點的單源最短路徑步驟如下

Floyd算法

1.定義概覽

Floyd-Warshall算法（Floyd-Warshall algorithm）是解決任意兩點間的最短路徑的一種算法，可以正確處理有向圖或負權的最短路徑問題，同時也被用于計算有向圖的傳遞閉包。Floyd-Warshall算法的時間復雜度為O(N³)，空間復雜度為O(N²)。

2.算法描述

1)算法思想原理：

???? Floyd算法是一個經典的動態規劃算法。用通俗的語言來描述的話，首先我們的目標是尋找從點i到點j的最短路徑。從動態規劃的角度看問題，我們需要為這個目標重新做一個詮釋（這個詮釋正是動態規劃最富創造力的精華所在）

????? 從任意節點i到任意節點j的最短路徑不外乎2種可能，1是直接從i到j，2是從i經過若干個節點k到j。所以，我們假設Dis(i,j)為節點u到節點v的最短路徑的距離，對于每一個節點k，我們檢查Dis(i,k) + Dis(k,j) < Dis(i,j)是否成立，如果成立，證明從i到k再到j的路徑比i直接到j的路徑短，我們便設置Dis(i,j) = Dis(i,k) + Dis(k,j)，這樣一來，當我們遍歷完所有節點k，Dis(i,j)中記錄的便是i到j的最短路徑的距離。

2).算法描述：

a.從任意一條單邊路徑開始。所有兩點之間的距離是邊的權，如果兩點之間沒有邊相連，則權為無窮大。　　

b.對于每一對頂點 u 和 v，看看是否存在一個頂點 w 使得從 u 到 w 再到 v 比己知的路徑更短。如果是更新它。

3).Floyd算法過程矩陣的計算—-十字交叉法

方法：兩條線，從左上角開始計算一直到右下角如下所示

給出矩陣，其中矩陣A是鄰接矩陣，而矩陣Path記錄u,v兩點之間最短路徑所必須經過的點

相應計算方法如下：

最后A₃即為所求結果

3.算法代碼實現

typedef struct { char vertex[VertexNum]; //頂點表 int edges[VertexNum][VertexNum]; //鄰接矩陣,可看做邊表 int n,e; //圖中當前的頂點數和邊數 }MGraph;
void Floyd(MGraph g) {int A[MAXV][MAXV];int path[MAXV][MAXV];int i,j,k,n=g.n;for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n;j++){ 　　A[i][j]=g.edges[i][j];path[i][j]=-1;}for(k=0;k<n;k++){ for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n;j++)if(A[i][j]>(A[i][k]+A[k][j])){
　　A[i][j]=A[i][k]+A[k][j];path[i][j]=k;} }
}

算法時間復雜度:O(n³)

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#1樓 ??

good支持(0)反對(0)http://pic.cnblogs.com/face/508792/20130325095912.png 2014-03-04 17:45 | ☆y急速の靈感 ★

#2樓 ??

樓主講的很精辟，好文章支持(0)反對(0)http://pic.cnblogs.com/face/u264690.bmp 2014-04-01 15:19 | 曉O(∩_∩)O~

#3樓 ??

如此的詳細支持(0)反對(0)http://pic.cnblogs.com/face/584151/20131120141849.png 2014-08-04 20:27 | 阿魯巴

#4樓 ??

給贊！支持(0)反對(0) 2014-08-12 14:44 | silent_coder

#5樓 ??

強大，贊支持(0)反對(0)http://pic.cnblogs.com/face/608121/20140227211824.png 2014-10-23 15:01 | 千葉樹

#6樓 ??

能否轉載？寫的好詳細！！
以前學的忘了，現在看看覺得好有道理！支持(1)反對(0)http://pic.cnblogs.com/face/632767/20141029231741.png 2014-11-05 19:07 | Godfray

#7樓[樓主] ??

@ Godfray
哈哈記得標明出處吧支持(0)反對(0)http://pic.cnblogs.com/face/u426620.jpg?id=11183206 2014-11-17 14:25 | as_

#8樓 ??

結合代碼總算看懂了Dijkstra算法~支持(2)反對(0) 2014-11-29 16:14 | qinggeouye

#9樓 ??

竟然可以講的如此明白支持(0)反對(0) 2014-12-02 16:12 | pppanda

#10樓 ??

算法原理那里，2（是從i經過若干個節點k到j）好像不等價于Dis(i,k) + Dis(k,j) < Dis(i,j)吧？支持(0)反對(0) 2015-04-03 20:33 | yeshen

#11樓 ??

@ 月下涼
這句話只是在判斷這個點有沒有用過，并且，這個點還是可以走的。而且你說的那個例子，我完全沒看懂，能不能詳細的說下，是為什么？是怎么個走法？？？還是菜菜，希望解釋下，好學習學習！支持(0)反對(0) 2015-08-03 15:16 | 梁小豬

#12樓 ??

mark支持(0)反對(0) 2015-08-04 16:52 | alex_cool

#13樓 ??

寫的很好很詳細，不過Dijikstra的算法步驟第二步和第三步交換一下順序應該更好，把除V0外的距離都初始化為MAXINT，第一步把V0加入S中，以V0為中間點計算修改U中各頂點的距離（原步驟3），然后從中選擇距離最小的頂點為新的中間點，加入S中（原步驟2），重復步驟2和步驟3。這是一個遞歸的過程，這樣感覺更順，與動畫也更貼切。另外，我水平比較低，不過，數組真的沒越界嗎？？？支持(5)反對(0) 2015-09-16 21:28 | 營養不良的紅

#14樓 ??

話不多說，一個字，好！支持(0)反對(0) 2015-11-18 13:08 | 屌絲改變世界

#15樓 ??

不得不頂！支持(0)反對(0) 2015-12-29 15:55 | 阿水

#16樓 ??

很清晰支持(0)反對(0)http://pic.cnblogs.com/face/636799/20150907113508.png 2015-12-31 22:07 | xiaoluo91

#17樓 ??

請問可以轉載嗎？支持(0)反對(0) 2016-01-04 03:22 | lamlamM

#18樓 ??

好支持(0)反對(0)http://pic.cnblogs.com/face/741325/20150407174308.png 2016-03-04 12:55 | 鼬與輪回

#19樓 ??

有一個疑問，Dijkstra其實就是貪心算法的思想吧？？？支持(2)反對(0)http://pic.cnblogs.com/face/919841/20160323111700.png 2016-03-25 09:40 | Sampson-9

#20樓 ??

代碼你跑通了嗎就發上來，不像個程序員支持(1)反對(3) 2016-04-04 22:10 | gouxake

#21樓[樓主] ??

@ gouxake
不好意思這代碼是在校期間寫的
另外代碼根本沒有跑過我當時原本目的想寫偽代碼描述思路而已

至于具體代碼作為個程序員自己實現個也不困難吧支持(3)反對(0)http://pic.cnblogs.com/face/u426620.jpg?id=11183206 2016-05-06 14:05 | as_

#22樓 ??

博主寫的這篇博客，真的是太他媽好了。支持(1)反對(0) 2016-05-24 15:26 | keyeechen

#23樓 ??

樓主，講的簡單直白！怒贊，想問一下樓主的動態圖是用什么畫的了？支持(2)反對(0) 2016-06-23 11:17 | 憤怒的小菜鳥~.~

#24樓 ??

很好，謝謝樓主，畫的非常直觀支持(1)反對(0) 2016-07-13 15:21 | 編程蘿卜

#25樓 ??

講的很好啊，思路清晰，而且事無巨細，摟住棒棒噠~支持(1)反對(0) 2016-09-09 12:04 | 蓮動似是故人來

#26樓 ??

我只想說一句話，本來我沒有注冊博客園帳號。
我注冊的目的就是想給博主點個贊��支持(2)反對(0) 2016-09-14 23:03 | EsLion

#27樓 ??

樓主，這個判斷if((!S[j]) && dist[j]<mindist)可不可以改成if( !S[j] && map[u][j] < Max )？支持(0)反對(0) 2016-09-15 15:31 | FriskyPuppy

#28樓 ??

請問在Dijkstra算法示例中，將D、E 之間的權重改為5或者6以上的數字，會影響最短路徑的結果么？小弟在推算過程中感覺改變這個值對結果沒有影響。如果是這樣的話那就不是最短路徑了。有可能是我推算的有問題。望大神解答支持(0)反對(0) 2016-09-17 17:20 | forwardX

#29樓 ??

@ yeshen
這是個類似動態規劃的過程，在O(n^3)的運算過程中一定可以把局部最優解處理為全局最優解。。。因為局部最優是全局最優的必要條件。。。支持(0)反對(0)http://pic.cnblogs.com/face/788097/20150925163550.png 2016-11-15 22:37 | woodenhead

#30樓 ??

感謝博主！但Dijkstra算法的動畫圖好像有一個錯誤：在以3為中間點判斷到4的最短路徑時應該時22>9+11,動畫里好像寫反了；）支持(0)反對(0)http://pic.cnblogs.com/face/1072319/20161129230024.png 2016-11-30 16:56 | 李秋豪

#31樓 ??

感謝博主，辛苦了。支持(0)反對(0) 2016-12-28 16:39 | Griezmann

#32樓 ??

可以注冊賬號來感謝你的動態圖，及其他，謝謝支持(0)反對(0) 2017-05-04 16:59 | SuvanCheng

#33樓 ??

http://www.61mon.com/index.php/archives/194/ ，我的這篇更詳細支持(0)反對(0)http://pic.cnblogs.com/face/789826/20170208092208.png 2017-05-22 16:21 | 劉毅（Limer）

#34樓 ??

剛剛學習算法，不大懂啊，要不要先看看凸輪的知識。。。支持(0)反對(0)http://pic.cnblogs.com/face/1176586/20170905173945.png 2017-07-19 15:40 | YJLAugus

#35樓 ??

感謝分享支持(0)反對(0) 2017-07-28 20:56 | 噗_嗤

#36樓 ??

博主我覺得你寫Floyd算法的時候上面文字說的清楚但是下面的矩陣演示就不清楚了沒有說明每一步劃線的含義只是告訴我們怎么做是不夠的支持(0)反對(0) 2017-08-02 09:50 | 剩余的明天

#37樓 ??

最看不起這種用了別人的東西卻不注明出處的人！支持(0)反對(1) 2017-08-04 09:04 | yogurtice22yogadance

#38樓 ??

@ Sampson-9
對，弗洛伊德的思想是動態規劃支持(0)反對(0)http://pic.cnblogs.com/face/1215839/20171005220935.png 2017-08-13 20:20 | Hammer_cwz_77

#39樓 ??

@ yogurtice22yogadance
你寫的？你連博客都沒有。支持(0)反對(0)http://pic.cnblogs.com/face/1215839/20171005220935.png 2017-08-13 20:26 | Hammer_cwz_77

#40樓 ??

dijkstra算法解釋得異常清楚，偽代碼也很清晰，但是寫到Floyd-WarShall算法就不太認真了噢。謝謝樓主了。支持(0)反對(0) 2017-09-18 22:30 | 不燥不怕

#41樓37902282017/9/19 23:02:22 ??

非常感謝支持(0)反對(0) 2017-09-19 23:02 | learningAgain 刷新評論刷新頁面返回頂部注冊用戶登錄后才能發表評論，請登錄或注冊，訪問網站首頁。【推薦】50萬行VC++源碼: 大型組態工控、電力仿真CAD與GIS源碼庫
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總結

以上是生活随笔為你收集整理的Dijkstra算法与Floyd算法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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