【問題描述】[中等]

給你一根長度為 n 的繩子，請把繩子剪成整數長度的 m 段（m、n都是整數，n>1并且m>1），每段繩子的長度記為 k[0],k[1]...k[m-1] 。請問 k[0]*k[1]*...*k[m-1] 可能的最大乘積是多少？例如，當繩子的長度是8時，我們把它剪成長度分別為2、3、3的三段，此時得到的最大乘積是18。輸入: 10 輸出: 36 解釋: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36 提示：2 <= n <= 58

【解答思路】

1. 貪心思想&數學證明

時間復雜度：O(1) 空間復雜度：O(1)

class Solution {public int cuttingRope(int n) {if(n <= 3) return n - 1;int a = n / 3, b = n % 3;if(b == 0) return (int)Math.pow(3, a);if(b == 1) return (int)Math.pow(3, a - 1) * 4;return (int)Math.pow(3, a) * 2;} }

快速冪 + 求余

public int cuttingRope(int n) {if(n <= 3) return n - 1;int b = n % 3, p = 1000000007;long rem = 1,x=3;for(int a = n/3-1 ;a>0; a/=2){if(a%2 ==1){rem = (rem*x)%p;}x = (x*x)%p;}if(b == 0){return (int)(rem*3%p);}if(b == 1){return (int)(rem*4%p);}//b =2 return (int)(rem*6%p);}

2. 背包動態規劃

第一層循環枚舉物品，第二層循環枚舉背包體積
時間復雜度：O(N) 空間復雜度：O(N)

public int cuttingRope(int n) {int[] dp = new int[n+1];dp[0] = 1;for (int i = 1; i <= (n+1)/2; i++) {for (int j = i; j <= n; j++) {dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j-i] * i);}}return dp[n];}

3. 動態規劃

考慮最后一步的情況，即最后剪的一下，會把繩子分為兩部分，且兩部分的結果互不影響

定義 dp[i] 表示長度i的繩子能得到的最大乘積

則 dp[i] 等于 在繩子區間[0, i)之間剪開的兩部分乘積最大值

如果剪開位置為k，則區間分為[0, k)和[k, i)兩部分

第一部分長度為k, 第二部分長度為i-k

第二部分存在剪和不剪兩種情況，剪的時候值為dp[i-k]，不剪的時候取（i-k)

于是得到狀態轉換方程：

dp[i] = max{ k * dp[i-k], k * (i-k)} (2<=k<=i)

時間復雜度：O(N) 空間復雜度：O(N)

public int cuttingRope(int n) {int[] dp = new int[n+1];dp[1] = 1;dp[2] = 1;for (int i = 3; i<=n; i++){for (int k = 2; k <= i-1; k++){dp[i] = Math.max(dp[i], Math.max(k*(i-k), k*dp[i-k]));}}return dp[n];}

【總結】

1.數學高數求導 求最大最小值神器

2.動態規劃流程

第 1 步：設計狀態
第 2 步：狀態轉移方程
第 3 步：考慮初始化
第 4 步：考慮輸出
第 5 步：考慮是否可以狀態壓縮

3. 不要想當然，要有數學證明，思路錯，代碼怎么調都是做無用功

4.快速冪

public long remainder(long x, int a, int p){long rem = 1;while( a > 0){if(a%2 ==1){rem = (rem*x)%p;}x = (x*x)%p;a /=2;}return rem;}

轉載鏈接：https://leetcode-cn.com/problems/jian-sheng-zi-lcof/solution/mian-shi-ti-14-i-jian-sheng-zi-tan-xin-si-xiang-by/
參考鏈接：https://leetcode-cn.com/problems/jian-sheng-zi-lcof/solution/xu-lie-xing-dong-tai-gui-hua-by-muyids-2/

總結

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