當(dāng)前位置：首頁(yè) > 编程资源 > 编程问答 >内容正文

编程问答

MOSSE算法推导

發(fā)布時(shí)間：2023/12/10 编程问答 35 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了 MOSSE算法推导小編覺得挺不錯(cuò)的,現(xiàn)在分享給大家,幫大家做個(gè)參考.

引言

??MOSSE是在Visual Object Tracking using Adaptive Correlation Filters這篇文章中提出來(lái)的，MOSSE的全稱是Minimum Output Sum of Squared Error，令平方誤差和最小來(lái)計(jì)算得到濾波器。

算法流程

??相關(guān)濾波很容易理解，一幀圖像經(jīng)過相關(guān)運(yùn)算（濾波器）之后得到的響應(yīng)圖中，響應(yīng)最大的位置就是目標(biāo)所在的位置。這個(gè)相關(guān)計(jì)算的模板也就是濾波器，它濾除了和它不相關(guān)的內(nèi)容。

相關(guān)運(yùn)算和卷積運(yùn)算

??相關(guān)Correlation和卷積Convolution有著緊密的聯(lián)系。以一維的情況考慮。 $f [n]$ 是原始序列， $h [n]$ 是濾波器，在它們都是實(shí)數(shù)的情況下，相關(guān)運(yùn)算結(jié)果 $g [n]$ 可以表示為：
$\sum^{\infty}_{\tau=-\infty}f[\tau]h[n+\tau]$
??兩者卷積的結(jié)果為：
$f[n]?h[n]=∑τ=?∞∞f[τ]h[τ?n]f[n]\ast h [n] = \sum^{\infty}_{\tau=-\infty}f[\tau]h[\tau-n]$
??可以觀察到，相關(guān)和卷積的計(jì)算非常相似，我們?nèi)绻?span id="ozvdkddzhkzd" class="katex--inline"> $f [n]$ 與 $h [? n]$ 卷積，那就能得到相關(guān)計(jì)算的結(jié)果了。有人可能會(huì)問了 $h [n]$ 可以理解，但是 $h [? n]$ 的話索引就小于0了，是什么呀？我們先不管這個(gè)，先定性地再理解一下卷積和相關(guān)運(yùn)算的區(qū)別。在一維的情況下，相關(guān)運(yùn)算就像是把一條線段在另一條線段上拖動(dòng)，每次兩條線段重合區(qū)域的長(zhǎng)度就是運(yùn)算結(jié)果；卷積運(yùn)算則是僅僅多了把一條線段反轉(zhuǎn)的步驟，同樣也是拖動(dòng)然后看重合的長(zhǎng)度。這樣我們就好理解了，這個(gè) $h [? n]$ 中的負(fù)號(hào)只是起到了序列前后反轉(zhuǎn)的作用。
$=f[n]\ast h [-n]$
??那么我們就可以把相關(guān)運(yùn)算表示成上面的卷積運(yùn)算。很多情況下，如果 $h [n]$ 是一個(gè)對(duì)稱的序列，那么卷積和相關(guān)運(yùn)算得到的結(jié)果就是一樣的。
??為了簡(jiǎn)化計(jì)算，時(shí)域的卷積轉(zhuǎn)化為頻域的乘積，我們用DFT可以由 $f [n]$ 計(jì)算得到 $F [k]$ ，下面是 $h [n]$ 的DFT：
$H[k]=∑n=0N?1h[n]e?j2πknNH[k]=\sum^{N-1}_{n=0}{h[n]e^{-j2\pi\frac{kn}{N}}}$
??而 $h [? n]$ 經(jīng)過DFT之后得到的是什么呢？因?yàn)橐粋€(gè)序列就只有0到N-1的索引，這負(fù)的索引是什么呢？為此我又回顧了一遍DFT，我看的主要是奧本海姆的《離散時(shí)間信號(hào)處理》。書里講的DFT和DFS非常像，確實(shí)非常像！我自己的理解是：DFS和傳統(tǒng)意義的傅立葉變換更接近，它實(shí)現(xiàn)的是離散周期序列與離散周期序列之間的轉(zhuǎn)換（因?yàn)榇嬖凇爸芷趯?duì)離散”，“非周期對(duì)連續(xù)”這樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系）。而DFT則是截取了DFS的一個(gè)周期的序列來(lái)表示，可以說(shuō)只是一種表示方法，在處理的時(shí)候要注意它固有的周期性。

??舉個(gè)例子， $x [n]$ 是長(zhǎng)度為4的序列， $x~[n]\tilde x[n]$ 是周期延拓后的序列， $x~[?n]\tilde x[-n]$ 是翻轉(zhuǎn)后的序列， $x [? n]$ 是從翻轉(zhuǎn)后的序列中提取一個(gè)周期的序列。
$∑n=0N?1h[?n]e?j2πknN=h[0]+∑n=1N?1h[N?n]e?j2πknN\sum^{N-1}_{n=0}{h[-n]e^{-j2\pi\frac{kn}{N}}}=h[0]+ \sum^{N-1}_{n=1}{h[N-n]e^{-j2\pi\frac{kn}{N}}}$
??令 $l = N ? n$ ，則 $n = N ? l$ ，代入上式得：
$\sum^{N-1}_{l=1}{h[l]e^{-j2\pi\frac{k(N-l)}{N}}}=h[0]+ \sum^{N-1}_{l=1}{h[l]e^{j2\pi\frac{kl}{N}}}= \sum^{N-1}_{l=0}{h[l]e^{j2\pi\frac{kl}{N}}}=H^*[k]$
??到這里我們就有了 $f [n]$ 和 $h [? n]$ 的DFT，它們倆的卷積可以用乘積表示，我們把 $g [n]$ 的DFT結(jié)果記為 $G [k]$ ，則：
$F[k]\odot H^*[k]$

MOSSE算法

??上面的式子再推廣到二維的情況也一樣是成立的， $⊙\odot$ 表示二維矩陣 $F$ 和 $H^*$ 的對(duì)應(yīng)元素相乘。
$F\odot H^*$
??我們的目標(biāo)是求 $H^*$ ， $F$ 是輸入的圖像， $G$ 是輸出的響應(yīng)。這個(gè)響應(yīng)需要我們自己設(shè)計(jì)。目標(biāo)經(jīng)過濾波器后，目標(biāo)所在位置的響應(yīng)最大，當(dāng)目標(biāo)在圖像中央時(shí)，我們可以把這個(gè)響應(yīng)設(shè)定為峰值位置在圖像中央的二維高斯函數(shù)。
??如果只有一幅訓(xùn)練圖片的話，這就已經(jīng)能算出來(lái)了， $H?=GFH^*=\frac{G}{F}$ （這里的除法指的是對(duì)應(yīng)元素相除），但是一般不只一幅圖，所以要求一個(gè)最優(yōu)的 $H^*$ 。為此論文中提出的準(zhǔn)則是使每幅圖計(jì)算的結(jié)果和高斯模板之間的平方誤差之和最小，用公式表示就是：
$min?H?∑i∣Fi⊙H??Gi∣2\mathop {\min }\limits_{{H^*}} \sum\limits_i {{{\left| {{F_i} \odot {H^*} - {G_i}} \right|}^2}}$
??接下來(lái)就是想辦法求這個(gè)最優(yōu)化問題了，可以看到它類似一個(gè)一元二次函數(shù)，但這里又都是復(fù)數(shù)運(yùn)算，所以還是有點(diǎn)不同。求解 $H^*$ 可以分解為求解它的每一個(gè)元素。對(duì)于 $w$ 行， $v$ 列的元素，有：
$min?H?∑i∣Fiwv⊙Hwv??Giwv∣2\mathop {\min }\limits_{{H^*}} \sum\limits_i {{{\left| {{F_{iwv}} \odot {H^*_{wv}} - {G_{iwv}}} \right|}^2}}$
??這就是標(biāo)量運(yùn)算了，我們先看 $i = 1$ 的情況。
$min?H?∣FwvH?wv?Gwv∣=min?H?(FwvH?wv?Gwv)(FwvH?wv?Gwv)?=min?H?FwvFwv?HwvH?wv?GwvFwv?Hwv?Gwv?FwvH?wv?GwvG?wv\begin{array}{l} \mathop {\min }\limits_{{H^*}} \left| {{F_{wv}}{H^*}_{wv} - {G_{wv}}} \right|\\ = \mathop {\min }\limits_{{H^*}} \left( {{F_{wv}}{H^*}_{wv} - {G_{wv}}} \right){\left( {{F_{wv}}{H^*}_{wv} - {G_{wv}}} \right)^*}\\ = \mathop {\min }\limits_{{H^*}} {F_{wv}}{F_{wv}}^*{H_{wv}}{H^*}_{wv} - {G_{wv}}{F_{wv}}^*{H_{wv}} - {G_{wv}}^*{F_{wv}}{H^*}_{wv} - {G_{wv}}{G^*}_{wv} \end{array}$
??求極值要涉及對(duì)復(fù)數(shù)的變量求導(dǎo)，有人提出了Wirtinger導(dǎo)數(shù)，其中 $z = x + j y$ ，
$??z=12[??x?j??y]??z?=12[??x+j??y]\frac{\partial }{{\partial z}} = \frac{1}{2}\left[ {\frac{\partial }{{\partial x}} - j\frac{\partial }{{\partial y}}} \right]\\ \frac{\partial }{{\partial {z^*}}} = \frac{1}{2}\left[ {\frac{\partial }{{\partial x}} + j\frac{\partial }{{\partial y}}} \right]$
??根據(jù)上面的式子可以計(jì)算得到：
$??zz?=??z?z=0\frac{\partial }{{\partial z}}{z^*} = \frac{\partial }{{\partial {z^*}}}z = 0$
??據(jù)此可以知道 $H_{wv}$ 在對(duì) $H_{wv}^*$ 求導(dǎo)的時(shí)候可以看作常數(shù)。因此對(duì)目標(biāo)函數(shù)求導(dǎo)，并令導(dǎo)數(shù)為0可得：
$??Hwv?(FwvFwv?HwvH?wv?GwvFwv?Hwv?Gwv?FwvH?wv?GwvG?wv)=FwvFwv?Hwv?Gwv?Fwv=0\begin{array}{l} \frac{\partial }{{\partial {H^*_{wv}}}}\left( {{F_{wv}}{F_{wv}}^*{H_{wv}}{H^*}_{wv} - {G_{wv}}{F_{wv}}^*{H_{wv}} - {G_{wv}}^*{F_{wv}}{H^*}_{wv} - {G_{wv}}{G^*}_{wv}} \right)\\ = {F_{wv}}{F_{wv}}^*{H_{wv}} - {G_{wv}}^*{F_{wv}} = 0 \end{array}$
$Hwv=Gwv?FwvFwvFwv?,Hwv?=GwvFwv?FwvFwv?{H_{wv}} = \frac{{{G_{wv}}^*{F_{wv}}}}{{{F_{wv}}{F_{wv}}^*}}, {H_{wv}}^* = \frac{{{G_{wv}}{F_{wv}}^*}}{{{F_{wv}}{F_{wv}}^*}}$
??再推廣到 $i > 1$ 的情況：
$H?=∑iGi⊙Fi?∑iFi⊙Fi?{H^*} = \frac{{\sum\nolimits_i {{G_i} \odot {F_i}^*} }}{{\sum\nolimits_i {{F_i} \odot {F_i}^*} }}$
??最后引入了學(xué)習(xí)率 $η\eta$ 來(lái)更新 $H^*$ ：
$Hn?=AnBnAn=ηGn⊙Fn?+(1?η)An?1Bn=ηFn⊙Fn?+(1?η)Bn?1\begin{array}{l} {H_n}^* = \frac{{{A_n}}}{{{B_n}}}\\ {A_n} = \eta {G_n} \odot {F_n}^* + (1 - \eta ){A_{n - 1}}\\ {B_n} = \eta {F_n} \odot {F_n}^* + (1 - \eta ){B_{n - 1}} \end{array}$
??其中 $n = 1, 2, 3 . . .$ 代表測(cè)試圖片的幀數(shù)。 $A0=∑iGi⊙Fi?A_0=\sum\nolimits_i {{G_i} \odot {F_i}^*}$ , $B0=∑iFi⊙Fi?B_0=\sum\nolimits_i {{F_i} \odot {F_i}^*}$ ，實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)， $η=0.125\eta=0.125$ 效果較好。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的MOSSE算法推导的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯(cuò)，歡迎將生活随笔推薦給好友。

算法
MOSSE