概率論與數(shù)理統(tǒng)計的學習內(nèi)容來源于中國大學MOOC，以及參考書籍《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》第四版，浙江大學。
隨機現(xiàn)象
　在一定條件下，有可能出現(xiàn)多種結(jié)果；而且在事情發(fā)生前不能知道結(jié)果。
隨機試驗
　概念：對隨機現(xiàn)象的觀察、記錄、實驗。
　特征：1 在相同條件下可重復進行；2 事先知道所有可能的結(jié)果；3試驗前不知道哪個結(jié)果會發(fā)生。

樣本空間
　概念：所有可能結(jié)果的集合。一般用S表示。S={e}。
　每一個可能的結(jié)果稱為樣本點。
　例子：S={正面、反面} S={0,1,2,…} S={x:x>=0} S={(正，反)，(正,正),)(反，反)，（反，正）}

隨機事件
樣本空間的子集稱為隨機事件，簡稱事件。
事件Ａ發(fā)生，一定是Ａ中的一個樣本點發(fā)生。
事件表示方法
　語言：事件Ａ＝至少有５個人在候車
　集合：A={5,6,7,…}
分類
　必然事件：一定會發(fā)生的事件。例如Ｓ。
　基本事件：只有一個樣本點的事件。事件C=只有3人候車；或者C={3}
　不可能事件：每次試驗都不會發(fā)生的事件。D={x:x>=3 且x<3}

事件關系
　１包含 A?B
　2 相等 A=B
　3 互斥 A∩B=?
　4 對立事件/逆事件Aˉˉˉ

事件運算
　1 A∩B
　2 A∪B
　3 A?B={x|x∈A且x?B}
　4 Aˉˉˉ
　運算定律
　　１交換律
　　２結(jié)合律
　　３分配律
　　４對偶律／摩根定律
　　
　　
　韋恩圖

頻率
fn(A)=nan A在n次試驗中發(fā)生的次數(shù)。
性質(zhì)
　1 0<=fn(A)<=1
　2 fn(S)=1
　3 互不相容事件的概率=每個事件概率的和

概率
　隨著n增加fn(A)趨于穩(wěn)定值p，p稱為事件A的概率。
　公理化定義：P(A)滿足 非負；P(S)=1；k個互斥事件的P=∑ki=1P(Ai)，則稱P(A)是事件A的概率。
　性質(zhì)
　　１P(?)=0
　　2 P(A)=1-P(Aˉˉˉ)
　　3 互斥：概率和
　　4 如果A?B，則P(B-A)=P(B)-P(A)。一般的事件A，B，P(B-A)=P(B)-P(AB)
　　5加法公式 P(A∪B) = P(A)+P(B)-P(AB) 推廣公式 P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

等可能概型（古典概型）
　概念：如果試驗樣本的空間只包含有限個元素，并且試驗中每個基本事件發(fā)生的可能性相同。則這種試驗可以稱為等可能概型。
　P(A)=A包含的樣本點S包含的樣本點
　例子：1 袋子里面有白球、黃球，不放回的取，第k次取到白球的概率。2 生日相同的概率。
　p(Ak)=CkaCn?kbCnN 有N個球，a個黃球，b個白球，不放回的取出n個球，求恰有k個黃球的概率。

條件概率
　P(B|A)在A發(fā)生的條件下，B發(fā)生的概率。P(B|A)=P(AB)P(A)
　
　
　與 P(AB)同時發(fā)生的概率區(qū)別。
　條件概率滿足概率的所有性質(zhì)。

乘法公式
　P(AB)=P(A)P(B|A)
　P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)
　P(A1A2A3...An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)...P(An|A1A2....An?1)

全概率公式

P(A)=∑ni=1P(Bi)P(A|Bi)
關鍵是構(gòu)造合適的劃分：不重不漏。

貝葉斯公式
　乘法公式 與 全概率公式推導出
　P(Bi|A)=P(ABi)P(A)==P(Bi)P(A|Bi)∑nj=1P(Bj)P(A|Bj)
　
獨立事件
　概念：A、B兩隨機事件，如果P(AB)=P(A)P(B)，則稱A、B相互獨立。
　擴展：A、B相互獨立=>A、Bˉˉˉ相互獨立 Aˉˉˉ、B相互獨立 Aˉˉˉ,Bˉˉˉ相互獨立。
　N個事件獨立：如果A1，A2,A3…Ann個隨機事件，如果有P(A1A2A3...An)=∏nj=1P(Aj)，則稱A1，A2,A3…An相互獨立。 兩兩獨立，不是相互獨立。

事件關系
　１包含 A?B
　2 相等 A=B
　3 互斥/不相容 A∩B=?
　4 對立事件/逆事件Aˉˉˉ
　5 獨立 P(AB)=P(A)P(B)
　是否相容和是否獨立是描述事件關系的兩個維度，一個從是否會同時發(fā)生的角度描述，不會同時發(fā)生的事件叫不相容。另一個是從事件后效性方面理解，如果一個事件的發(fā)生對另外一個事件造成了影響，也就是說這個事件的發(fā)生產(chǎn)生了后效性，則兩個事件不是獨立事件；如果沒有后效性，則認為是獨立事件。

小概率事件
　如果事件A發(fā)生的概率p非常小（例如0.0001），A 被稱為小概率事件。人們實踐總結(jié)小概率事件在一次試驗中不會發(fā)生。當試驗次數(shù)n很大的時候，小概率事件不能被忽視。
　例如當p=0.0001，試驗進行了n次，計算事件A至少會發(fā)生一次的概率。n=30000時, P(C) =1-(1-0.0001)^30000 =0.9502。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的第一章 概率论的基本概念的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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