切比雪夫不等式

　設隨機變量X具有數學期望E(X)=μ，方差D(X)=σ2，對于任意ε>0，都有

P{|X?μ|≥ε}≤σ2ε2
　

方差越大，X落在區間外的概率越大，X的波動也就越大，與方差的意義統一了。等價公式

P{|X?μ|<ε}≥1?σ2ε2

適用范圍

　　期望、方差都存在的隨機變量。

用途

　　對于隨機變量落在期望附近區域內（或外）給出一個界的估計。

證明

　　證明的要點是意識到D(X)=E((X?μ)2)

大數定律

　　隨機事件A的頻率fn(A)當重復試驗的次數n增大時，總是呈現出穩定性，穩定在某一個常數附近。頻率的穩定性是概率定義的客觀基礎。
　　隨機變量與隨機變量序列的區別看這里。感覺上：隨機變量序列是多次隨機試驗結果寫成數組形式。

辛欽大數定律

　　設X1,X2...Xn是相互獨立且服從同一分布的隨機變量序列，且具有數學期望E(Xk)=μ，k=1,2,3…。則對于?ε>0，有

limn?>+∞P{|1n∑k=1nXk?μ|<ε}=1
　　 |1n∑nk=1Xk?μ|<ε是一個隨機事件。辛欽大數定律描述的是獨立同分布且具有均值 μ的隨機變量 X1,X2...Xn，當n很大的時候，它們的 算術平均值1n∑nk=1Xk很可能接近于μ。

依概率收斂

定義

　　設Y1,Y2,...Yn為一個隨機變量序列，c為一常數，若對于?ε，均有limn?>+∞P{|Yn?c|≥ε}=0成立，則稱隨機變量序列{Yn,n>1}依概率收斂于c，記為Yn?>c(這里記號有問題，表示不出來)，當n?>+∞。
　

性質

　若Xn?>a(依概率)，Yn?>b(依概率)，當n?>+∞時，函數f(x,y)在點(a,b)處連續，那么g(Xn,Yn)?>g(a,b)(依概率)，當n?>+∞時。

辛欽大數定律第二種寫法

　設X1,X2...Xn是相互獨立且服從同一分布的隨機變量序列，且具有數學期望E(Xk)=μ，k=1,2,3…。則序列Xˉˉˉ=1n∑nk=1Xk依概率收斂于μ。記為Xˉˉˉ?>μ(依概率)。
　說明：相當于辛欽大數定律使用依概率收斂寫了一次。
　辛欽大數定律指出隨機變量X的數學期望的近似值的方法：將隨機變量獨立重復地觀察n次，記第k次的觀測值為Xk，可將n次觀測值的算術平均值作為期望的近似。

切比雪夫大數定律

　X1,X2...Xn是相互獨立的隨機變量，且具有相同的期望μ，相同的方差σ2，那么1n∑ni=1Xi?>μ(依概率)。
　

伯努利大數定律

　設fn(A)是n次獨立重復試驗中時間A發生的次數，p是事件A在每次試驗中發生的概率，則對于任意正數ε>0。有

limn?>+∞P{|fAn?p<|ε}=1 ，也可以表示為 fn(A)n～p(依概率)。
　伯努利大數定律指出當試驗次數很大的時候可以用頻率代替概率。

三個大數定律的比較

定律分布情況期望方差結論

辛欽大數定律	相互獨立且同分布	存在		估算期望
切比雪夫大數定律	相互獨立	相同	相同	估算期望
伯努利大數定律	二項分布	相同	相同	頻率=概率
相同點：n?>+∞,依概率趨近	條件組件變得嚴格

中心極限定理

　　有許多隨機變量，它們是由大量的相互獨立的隨機因素的綜合影響形成的，其中每一個的因素在總影響中所起的作用都是微小的。這種隨機變量往往近似的服從正態分布。
　　中心極限定理（central limit theorem）是概率論中討論隨機變量序列部分和分布漸近于正態分布的一類定理。這組定理是數理統計學和誤差分析的理論基礎，指出了大量隨機變量累積分布函數逐點收斂到正態分布的積累分布函數的條件。(引用)

獨立同分布的中心極限定理(CLT)

　　設隨機變量X1,X2...Xn相互獨立且同分布，E(Xi)=μ，D(Xi)=σ2，i=1,2,…，則對于充分大的n，有∑ni=1Xi～(近似)N(nμ,nσ2)。此時P(a<∑ni=1Xi<b)≈?(b?nμn√σ)??(a?nμn√σ)。1n∑ni=1Xi～(近似)N(μ,σ2n)

德莫佛-拉普拉斯定理

　　記nA為n重伯努利試驗中事件A發生的次數，并記事件A在每次試驗中發生的概率為p，則對于充分大的n有nA～(近似)N(np,np(1?p))

總結

以上是生活随笔為你收集整理的第四章切比雪夫不等式、大数定理、中心极限定理的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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