文章出處：極客時間《數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和算法之美》-作者：王爭。該系列文章是本人的學(xué)習(xí)筆記。

跳表的由來

說明：圖片來自極客時間
由來
　　二分查找的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)是數(shù)組，利用數(shù)組隨機訪問的特定查找的時間復(fù)雜度是O(logn)。如果數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)是鏈表，可以達(dá)到這樣的速度嗎？答案是可以的。只是要改造。改造之后的結(jié)構(gòu)就是跳表，是一種動態(tài)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，可以支持快速的插入、刪除、查找、按范圍查找。功能類似于紅黑樹。Redis中的有序集合使用的就是跳表。

跳表的結(jié)構(gòu)

　　對于單鏈表來說，存儲的數(shù)據(jù)是有序的，想要查找某個數(shù)，時間復(fù)雜度是O(n)。如果對單鏈表建一個一級“索引”，就是說每兩個節(jié)點提取一個節(jié)點。提取出的節(jié)點有一個down指針指向原始鏈表中的同一個節(jié)點。
　　
　　現(xiàn)在要查找數(shù)據(jù)16，那么查找路徑是：1，4，7，9，13，13（原始鏈表），16。查找7個節(jié)點。單鏈表查找16需要查找10個節(jié)點。
　　如果對一級索引再建“索引”，形成二級索引。
　　
　　現(xiàn)在要查找數(shù)據(jù)16，那么查找路徑是：1，7，13，13，13，16。查找6個節(jié)點。
　　當(dāng)n小的時候，減少的節(jié)點數(shù)量不明顯。如果是n=64。建5級索引。
　　
　　現(xiàn)在查找62需要11個節(jié)點，路徑是1，33，33，49，49，57，57，61，61，61，62。原來需要62個節(jié)點。提升效果很明顯。當(dāng)n越大，提升效果越明顯。
　　跳表=鏈表+多級索引

跳表的時空復(fù)雜度

時間復(fù)雜度
　當(dāng)節(jié)點個數(shù)為ｎ的時候，跳表會建幾層索引呢？第１級索引節(jié)點個數(shù)$\frac{n}{2}$，第2級索引節(jié)點個數(shù)$\frac{n}{4}$，第k級索引節(jié)點個數(shù)$\frac{n}{2^k}$。最上面一層索引節(jié)點個數(shù)是2。也就是說$2=\frac{n}{2^l}$,$l+1=lo{g}_{2}n$,$l=lo{g}_{2}n?1$。再加上原始鏈表層，跳表有$lo{g}_{2}n$層，記為logn。
　每一層最多查詢的節(jié)點個數(shù)是3。因為在建每一層索引的時候，是每2個數(shù)據(jù)建一個節(jié)點。例如查找數(shù)據(jù)x，在第k層發(fā)現(xiàn)$y<x,x>z$，所以通過y的down指針向，從第k層走到第k-1層。而y和z節(jié)點之間最多有3個節(jié)點（包含y和z）。
　
　那么跳表的時間復(fù)雜度就是O(logn)。和二分查找是同樣的查找效率。
空間復(fù)雜度
　鏈表的查找速度和二分一樣，這是需要付出空間代價的。也就是以空間換時間。那么額外需要多少空間呢？$\frac{n}{2}+\frac{n}{4}+\frac{n}{8}+...+2=n$，等比數(shù)列求和。所以空間復(fù)雜度是O(n)。

跳表插入和刪除

插入
　對于插入來講，為了維持鏈表的有序性，在插入一個數(shù)據(jù)的時候需要先查找到插入的位置。
　
　例如在鏈表中插入6，需要查找插入位置，查找節(jié)點1，1，4，4，5，時間復(fù)雜度和查找一個數(shù)字類似，O(logn)。鏈表的插入操作是O(1)，所以整體插入操作時間復(fù)雜度O(logn)。
刪除
　刪除操作不僅要刪除鏈表層，同時需要刪除索引層的節(jié)點。時間復(fù)雜度O(logn)。

動態(tài)索引表更新

索引更新
　當(dāng)不斷插入數(shù)據(jù)的時候，如果不更新索引層，極端情況下跳表退化為單鏈表。當(dāng)插入數(shù)據(jù)的時候，同時更新某些索引層。至于在哪些層建索引，可以通過隨機函數(shù)來選擇。

思考題

1 redist為什么使用跳表而不是紅黑樹？
　redist的核心操作是：
　插入一個數(shù)據(jù)；
　刪除一個數(shù)據(jù)；
　查找一個數(shù)據(jù)；
　按范圍查找一個區(qū)間內(nèi)的數(shù)據(jù)；
　迭代輸出有序序列
　紅黑樹效率不高的操作是：按范圍查找一個區(qū)間內(nèi)的數(shù)據(jù)。
　其他原因：跳表更容易實現(xiàn)，代碼比較簡單。

2 如果每3個或者5個節(jié)點抽取一個做索引，那么跳表的時間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度是多少呢？
如果每三個或者五個節(jié)點提取一個節(jié)點作為上級索引，那么對應(yīng)的查詢數(shù)據(jù)時間復(fù)雜度，也還是 O(logn)。其實這里的底數(shù)已經(jīng)不是2，而是3或者5。
空間復(fù)雜度，也依然是一個等比數(shù)列的和：$\frac{n}{3}+\frac{n}{9}+\frac{n}{8}+...+3=\frac{3}{2}(n?1)$，記為O(n)。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的数据结构三——跳表的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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