在兩個有序的數組中找第N個數，O(lgm+lgn)級

分類：?算法2009-10-09 20:52?981人閱讀?評論(3)?收藏?舉報

問題描述：

Give a divide and conquer algorithm for the following problem:
you are given two sorted lists of size m and n, and are allowed?
unit time access to the ith element of each list. Give an O(lg m + lgn)?
time algorithm for computing the kth largest element in the union of the? two lists. (For simplicity, you can assume that the elements of the?
two lists are distinct).

問題分析：

1. 把 A 平均分為前后兩個部分，前部分有 x 個元素，后部分有 n-x 個元素

（由于 A 是有序的，所以后一部分的所有元素大于前一部分）。A[x] = A的

后一部分的第一個元素。

?

2. 同理把 B 也平均分成前后兩個部分，前部分有 y 個元素，后部分有 m-y 個元素。?
B[y] = B的后一部分的第一個元素。

3. 由于兩個數組都是被平均分割的，所以可以近似地認為 x = n/2, y = m/2。?
這里不妨設 A[x] <= B[y]（如果 A[x] > B[y] 處理過程和下面類似）：?

?

part1:

?
由于在 A 中，A[x] 前面有 x 個元素，在 B 中，B[y] 前面有 y 個元素，?
并且又有 A[x] <= B[y]，那么，合并以后，A[x]前面原來那些元素必然?
也在B[y]前面，也就是說，B[y]前面至少會有 x + y 個元素，我們再規定?
如果 A, B 中有相同元素，則合并后 A 中的元素排在 B 前面，那么歸并?
以后 A[x] 也會排在 B[y] 前面，于是乎合并之后 B[y] 至少有 x+y+1 個元素。?
?
如果 k <= x+y+1，也就是說，合并后第 k 大的元素必然落在 B[y] 前面。?
所以，原來在 B 數組中，第二部分（B[y]以及 B[y] 之后）那些元素都不可能?
包含我們要找到內容（第 k 大元素），所以我們可以把他們排除掉。?
這樣就排除了 B 中一半的內容。?
?
?

part2:

?
在 A 中，A[x] 及其后面有 n1-x 個元素，除去 A[x] 之后有 n-x-1 個元素，?
B[y] 及其后面有 m-y 個元素。那么，由于 A[x] <= B[y]，所以合并起來之后，?
B[y] 后面那些元素必然也在 A[x] 后面，則合并后 A[x] 后面至少有??
(n-x-1) + (m-y) = (n+m)-(x+y+1) 個元素。?
?
如果 k > x+y+1，也就說，合并后第 k 大的元素必然落在 A[x] 后面。?
所以，原來在 A 數組中，第一部分（A[x]之前）以及 A[x] 都不可能包含我們?
要找的元素，所以我們可以把他們排除掉。這樣就排除了 A 中一半的內容。?
?
?

all:

?
綜上所訴，對于 k <= x+y+1 還是 k > x+y+1 我們都提出了解決的方案，并且每種方案?
都能把 A 或者 B 的規模減小一半。減小了一半之后，我們將其作為一個新的問題?
繼續使用上面的算法處理，直到 A 或者 B 減小到足夠小：?
?
1. A沒有了，這樣只需要找出 B 中第 k 大的元素，也就是 B[k].?
2. B沒有了，同上結果就是 A[k].

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代碼如下：

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[c-sharp]?view plaincopy

/************************************************************************?

?*?This?is?the?practice1?of?the?Algorithms?It?solved?the?problem1?below:?

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?*?Give?a?divide?and?conquer?algorithm?for?the?following?problem:?

?*?you?are?given?two?sorted?lists?of?size?m?and?n,?and?are?allowed??

?*?unit?time?access?to?the?ith?element?of?each?list.?Give?an?O(lg?m?+?lgn)??

?*?time?algorithm?for?computing?the?kth?largest?element?in?the?union?of?the??

?*?two?lists.?(For?simplicity,?you?can?assume?that?the?elements?of?the??

?*?two?lists?are?distinct).?

?*??

?*?The?idea?of?the?Algorithm?in?the?help?file?idea.txt!!?

?*?

?*?The?Algorithm?is?designed?by:Nanne?

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的在两个有序的数组中找第N个数，二分查找 O(lgm+lgn)级的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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