有限域

近世代數(shù)基礎

• 群

• A5交換群：滿足交換律的群

• 循環(huán)群：如果群中每一個元素都是某個固定元素g屬于群G的冪g^k，則群G為循環(huán)群

• 環(huán)

• 交換環(huán)：M4乘法的交換律

• 整環(huán)：M5存在乘法單位元、M6無零因子

• 域F：滿足A1_A5，M1M6且有M7乘法逆元

有限域

• 階為p的有限域GF§
  • 給定一個素數(shù)p，元素個數(shù)為p的有限域GF§被定義為整數(shù){0,1，……，p-1}的集合Zp，其運算為模p的算術運算
  • 是一個交換環(huán)
  • Zn中某一整數(shù)有乘法逆元，當且僅當該整數(shù)與n互素
  • 若n為素數(shù)，則Zn中所有非零整數(shù)都與n互素，所以Zn中所有非零整數(shù)都有乘法逆元。
  • 在GF（p）中秋乘法逆元
    • a，b互素，則b有模a的乘法逆元
    • a是素數(shù)并且b<a，則a和b互素，且其最大公因子為1
    • 用擴展歐幾里得算法：求b在a下的逆元即求擴展歐幾里得算法中的y
      -

多項式運算

• 普通多項式運算：

  • f（x）是定義在系數(shù)集S上的n次多項式
    -

• 系數(shù)在Zp中的多項式運算

  • 考慮幾個系數(shù)集合S的除法運算5/3

    • 如果S是有理數(shù)集合（域），那么結(jié)果可與簡單表示成5/3，這是S中的一個元素
    • 如果S是域Z7，此時5/3 = （5*3^-1)mod 7 = 4。一定能整除
    • 如果S是整數(shù)集（是環(huán)但不是域），那么結(jié)果商1余2

  • 多項式除法

    • 系數(shù)集是一個域，多項式除法也不一定能整除：多項式會產(chǎn)生一個商式和一個余式

    • n次多項式f（x）和m次多項式g（x），（m<n)，如果g（x）除f（x）的到一個商式q（x）和一個余式r（x），則滿足：

      f（x） = q（x）*g（x）+r（x）

  • 多項式模運算：與整數(shù)運算相似：可以寫成：r（x） = f（x）mod g（x）

  • GF（2）上的多項式

    • 加法和減法相當于異或
    • 乘法相當于邏輯與

  • 素多項式：當且僅當f（x）不能表示為兩個多項式的積，域F上的多項式被稱為不可約的

  • 最大公因式：通過歐幾里得算法可求，例：

• 有限域GF（2^{n）：有限域的元素個數(shù)必須為p}n，其中p為素數(shù)，n為正整數(shù)

  • 多項式模運算：

  • 有限域構造運算：

    • 遵循普通多項式運算規(guī)則
    • 系數(shù)運算以p為模，即遵循有限域Zp上的運算規(guī)則
    • 如果乘法運算的結(jié)果次數(shù)大于n-1的多項式，那么必須將其除以一個次數(shù)為n的既約多項式m（x）并取余式

• 多項式剩余類集合

• 多項式的逆元

  • f(x)a(x)+m(x)b(x) = 1,兩邊同時模上m（x）得知f（x）的逆就是a（x)

• 構造有限域GF（2^3)

  • 既約多項式：x^3+x2+1和x^3+x+1
  • 選擇后者則，

• 求乘法逆元：給定既約多項式a（x）和模的有限域元素b（x），則其乘法逆元滿足

$$b(x)w(x)=1moda(x)$$

? 使用擴展歐幾里得算法

• 加快多項式乘法：多項式表示成一個n位的二進制數(shù)

  • GF（2^n）加法、減法：二進制異或操作

  • GF（2^n）乘法：

    • 一般地
      $$x^{n}modp(x)=p(x)?x^n$$

    • $$\begin{gathered} f(x)=b_7{x}^7+b_6{x}^6+...+b_{1}x+b_0 \\ x?f(x)=b_7{x}^8+b_6{x}^7+...+b_1{x}^2+b_{0}x \\ x?f(x)modm(x)=m(x)?b_7{x}^8+b_6{x}^7+...+b_1{x}^2+b_{0}x \\ 表達為二進制形式： \\ x?f(x)=b_6{b}_5{b}_4{b}_3{b}_2{b}_1{b}_{0}0如果b_7=0 \\ x?f(x)=b_6{b}_5{b}_4{b}_3{b}_2{b}_1{b}_{0}0異或00011011如果b_7=1 \end{gathered}$$

• 生成元

總結(jié)

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