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巨佬整理的sg函數題目

SG函數

$SG$ 函數是對游戲圖中每一個節點的評估函數。

若 $SG(x)=0$ 則為必敗狀態，若 $SG(x)=0$，則為必勝狀態

$SG定理：$所有一般勝利下的公平組合游戲都能轉化成尼姆數表達的尼姆堆博弈，一個博弈的尼姆值 定義為這個博弈的等價尼姆數，即：對于當前游戲 $X$，它可以被拆分為多個子游戲 $x_1,x_2,...x_n$，那么 $SG(X)=SG(x_1)?SG(x_2)?SG(x_3)...?SG(x_n)$

對于由 $n$ 個有向圖游戲組成的組合游戲 設它們的起點分別為 $s_1,s_2,s_3,...s_n$，先手勝利時當且僅當 $SG(s_1)?SG(s_2)?SG(s_3)...?SG(s_n)=0$

求 $SG$ 函數
設 $x$ 的后繼狀態 $y_1,y_2,...y_n$
$SG(x)=mex(SG(y_1),SG(y_2),...SG(y_n))$

S-Nim
題意：
給定一個大小為 $n$ 的集合 $S$，$q$ 組查詢，每次查詢給定 $m$ 堆石頭，每堆石頭的個數 $x_i$，兩人輪流從中取石頭，每次取石頭的個數來自集合 $S$，問先拿者是否有必勝策略
$n<=100,S_i<=10000,q<=100,m<=100,x_i<=10000$
思路：
$SG$ 函數，多個游戲
$sg$ 函數經典例題
code：

#include<iostream> #include<cstring> #include<string> #include<cmath> #include<cstdio> #include<algorithm> #include<vector>#define endl '\n' #define ll long long #define ull unsigned long long #define ld long double #define all(x) x.begin(), x.end() #define mem(x, d) memset(x, d, sizeof(x)) #define eps 1e-6 using namespace std; const int maxn = 1e4 + 9; const int mod = 1e9 + 7; const int inf = 0x3f3f3f3f; const ll INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f; ll n, m; int a[maxn], sg[maxn]; bool vis[maxn];void work() {mem(sg, 0);for(int i = 1; i <= n; ++i) cin >> a[i];for(int i = 1; i <= maxn - 9; ++i){// 預處理石子數為i的sg函數for(int j = 1; j <= n; ++j) if(i >= a[j]) vis[sg[i-a[j]]] = 1;// 標記后繼狀態sg函數值while(vis[sg[i]]) ++sg[i];// 求mexfor(int j = 1; j <= n; ++j) if(i >= a[j]) vis[sg[i-a[j]]] = 0;// 消除標記}int q;cin >> q;while(q--){cin >> m;int ans = 0;for(int i = 1, x; i <= m; ++i){cin >> x;ans ^= sg[x];// 子游戲sg函數值異或一遍}cout << (ans ? "W" : "L");}cout << endl; }int main() {ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0); // int TT;cin>>TT;while(TT--)while(cin >> n && n)work();return 0; }

黑黑白白
思路:
$SG$ 函數，單個游戲
設 $sg[x]$ 表示先手輪到 $x$ 點時的取勝情況，$sg[x]=1$ 表示必勝狀態

• 當子狀態有必敗狀態時，該狀態為必勝狀態。
• 當子狀態全部為必勝狀態，該狀態為必敗狀態。

遍歷這棵樹，把所有孩子結點的答案向上合并
code:

#include<bits/stdc++.h> #define endl '\n' #define ll long long #define ull unsigned long long #define ld long double #define all(x) x.begin(), x.end() #define mem(x, d) memset(x, d, sizeof(x)) #define eps 1e-6 using namespace std; const int maxn = 2e6 + 9; const int mod = 1e9 + 7; const int inf = 0x3f3f3f3f; const ll INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f; ll n, m; vector <int> e[maxn]; int sg[maxn]; void dfs(int x, int fa){bool f = 1;//因為判斷必勝狀態的條件是存在某個子狀態，根據定義的sg函數含義，初始設為1for(auto to : e[x]) if(to != fa){dfs(to, x);f &= sg[to];// 企圖&出來0}sg[x] = !f; } void work() {cin >> n >> m;for(int i = 1; i <= n; ++i) e[i].clear(), sg[i] = 0;for(int i = 1; i < n; ++i){int x, y;cin >> x >> y;e[x].push_back(y);e[y].push_back(x);}dfs(m, m);cout << (sg[m] ? "Gen" : "Dui") << endl; }int main() {ios::sync_with_stdio(0);int TT;cin>>TT;while(TT--)work();return 0; }

春聯
思路:
$SG$ 函數，單個游戲
題解
看了下題解，就是用最后一個字符往前推必勝和必敗點
code:

#include<bits/stdc++.h> #define endl '\n' #define ll long long #define ull unsigned long long #define ld long double #define all(x) x.begin(), x.end() #define mem(x, d) memset(x, d, sizeof(x)) #define eps 1e-6 using namespace std; const int maxn = 2e6 + 9; const int mod = 1e9 + 7; const int inf = 0x3f3f3f3f; const ll INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f; ll n, m, k; int sg[maxn], mp[30], vis[30]; string s; int ans = 0; int get(){mem(vis, 0);for(int i = 1; i <= 26; ++i){if(mp[i] != n + 1) vis[sg[mp[i]]] = 1;}for(int i = 0; ; ++i) if(!vis[i]) return i; } void work() {cin >> s;n = s.size();s = "@" + s;for(int i = 1; i <= 26; ++i) mp[i] = n + 1; for(int i = n; i >= 1; --i){s[i] -= 'a' - 1;sg[i] = get();mp[s[i]] = i;}cout << (get() ? "kou" : "yukari"); }int main() {ios::sync_with_stdio(0); // int TT;cin>>TT;while(TT--)work();return 0; }

寒冬信使2
思路:
$SG$ 函數，單個游戲
把 $w$ 看成 $1$, $b$ 看成 $0$, 可以得到一個 $01$ 串, 把狀態壓縮成 $X={\sum }_{i=0}^{n?1}{2}^i?(s_i={=}^{\prime }{w}^{\prime })$
可以發現操作只會讓 $X$ 的值減少或者不變，于是可以記錄每個狀態的 $SG$ 函數，$X$ 的 $SG$ 函數為 $0$ 輸出 $No$，否則輸出 $Yes$
code:

#include<bits/stdc++.h> #define endl '\n' #define ll long long #define ull unsigned long long #define ld long double #define all(x) x.begin(), x.end() #define mem(x, d) memset(x, d, sizeof(x)) #define eps 1e-6 using namespace std; const int maxn = 2e6 + 9; const int mod = 1e9 + 7; const int inf = 0x3f3f3f3f; const ll INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f; ll n, m; string s; bitset <109> vis; int sg[maxn]; void init(){for(int i = 1; i < 1 << 10; ++i)// 二進制枚舉預處理所有01串狀態{vis.reset();for(int j = 0; j < 10; ++j){if(i & (1 << j))// 第j位為1 {if(j == 0) vis[sg[i ^ (1 << j)]] = 1;//操作二 else {for(int k = 0; k < j; ++k) vis[sg[i ^ (1 << j) ^ (1 << k)]] = 1;// 操作一 }}while(vis[sg[i]]) ++sg[i];//狀態i的sg函數 }} } void work() {cin >> n >> s;int st = 0;for(int i = 0; i < n; ++i) if(s[i] == 'w') st |= 1 << (i);cout << (sg[st] ? "Yes" : "No") << endl; }int main() {ios::sync_with_stdio(0);init();int TT;cin>>TT;while(TT--)work();return 0; }

D 與 S
思路：
$k$ 個關鍵點是必勝點，如果一個節點直接連著連著兩個必勝點，那么這個點就會變成必勝點，把初始的 $k$ 個點放入隊列不斷更新即可
code：

#include<bits/stdc++.h> #define endl '\n' #define ll long long #define ull unsigned long long #define ld long double #define all(x) x.begin(), x.end() #define mem(x, d) memset(x, d, sizeof(x)) #define eps 1e-6 using namespace std; const int maxn = 1e6 + 9; const int mod = 1e9 + 7; const int inf = 0x3f3f3f3f; const ll INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f; ll n, m, k; vector <int> e[maxn]; int sg[maxn], deg[maxn];void work() {cin >> n >> m >> k;for(int i = 1; i <= n; ++i) e[i].clear(), sg[i] = deg[i] = 0;queue <int> q;for(int i = 1; i <= k; ++i){int x;cin >> x;sg[x] = 1;q.push(x);}for(int i = 1; i <= m; ++i){int x, y;cin >> x >> y;e[x].push_back(y);e[y].push_back(x);}while(!q.empty()){int x = q.front();q.pop();for(auto to : e[x]){if(sg[to]) continue;++deg[to];if(deg[to] >= 2){sg[to] = 1;q.push(to);}}}cout << (sg[1] ? "yes" : "no") << endl; }int main() {ios::sync_with_stdio(0);int TT;cin>>TT;while(TT--)work();return 0; }

Anti-SG游戲

$SJ定理:$ 對于任意一個 $Anti?SG$ 游戲，如果我們規定：當局面中所有的單一游戲的 $SG$ 值為 $0$ 時，游戲結束，則先手必勝當且僅當：

• 游戲的 $SG$ 函數值不為 $0$ 且游戲中某個單一游戲的 $SG$ 函數值大于 $1$。
• 游戲的 $SG$ 函數值為 $0$ 且游戲中沒有任意一個單一游戲的 $SG$ 函數值大于 $1$ 。

P4279 [SHOI2008]小約翰的游戲
code：

#include<bits/stdc++.h> #define endl '\n' #define ll long long #define ull unsigned long long #define ld long double #define all(x) x.begin(), x.end() #define mem(x, d) memset(x, d, sizeof(x)) #define eps 1e-6 using namespace std; const int maxn = 2e6 + 9; const int mod = 1e9 + 7; const int inf = 0x3f3f3f3f; const ll INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f; ll n, m, k; int a[maxn];void work() {cin >> n;int sg = 0;bool f = 0;for(int i = 1; i <= n; ++i){cin >> a[i];sg ^= a[i];if(a[i] > 1) f = 1;}if(!f && !sg || f && sg) cout << "John\n";else cout << "Brother\n"; }int main() {ios::sync_with_stdio(0);int TT;cin>>TT;while(TT--)work();return 0; }

Multi - SG游戲

條紋 黑暗爆炸 - 2940
題意：

思路：
具體遞推公式好像需要打表找規律
code：

#include<bits/stdc++.h> #define endl '\n' #define ll long long #define ull unsigned long long #define ld long double #define all(x) x.begin(), x.end() #define mem(x, d) memset(x, d, sizeof(x)) #define eps 1e-6 using namespace std; const int maxn = 1e3 + 9; const int mod = 1e9 + 7; const int inf = 0x3f3f3f3f; const ll INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f; ll n, m; int a, b, c; bool vis[maxn]; int sg[maxn]; void work() {cin >> a >> b >> c;if(a > b) swap(a, b); if(b > c) swap(b, c); if(a > b) swap(a, b);for(int i = a; i <= maxn - 9; ++i){for(int j = 0; j + a <= i; ++j) vis[sg[j]^sg[i-j-a]] = 1;for(int j = 0; j + b <= i; ++j) vis[sg[j]^sg[i-j-b]] = 1;for(int j = 0; j + c <= i; ++j) vis[sg[j]^sg[i-j-c]] = 1;while(vis[sg[i]]) ++sg[i];for(int j = 0; j + a <= i; ++j) vis[sg[j]^sg[i-j-a]] = 0;for(int j = 0; j + b <= i; ++j) vis[sg[j]^sg[i-j-b]] = 0;for(int j = 0; j + c <= i; ++j) vis[sg[j]^sg[i-j-c]] = 0;}cin >> m;while(m--){cin >> n;cout << (sg[n] ? 1 : 2) << endl;} }int main() {ios::sync_with_stdio(0); // int TT;cin>>TT;while(TT--)work();return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的博弈（sg函数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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