定義：

mex(minimal excludant)運算，這是施加于一個集合的運算，表示最小的不屬于這個集合的非負整數。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{1,3,5}=0、mex{}=0。

設SG(x) = { SG(a),SG(b),SG(c) };

設集合S = {?SG(a),SG(b),SG(c) };

SG(x) = mex(S)

則 S 是 x 后繼狀態 SG 函數元素的集合。

SG(x) = 0;//當且僅當 x 為必敗點 P 時

SG函數的性質：

首先，所有的目標位置所對應的頂點(沒有出邊的頂點)，其SG值為0，因為它后繼狀態的集合為空集，對于所有g(x) = 0的頂點x ，它的所有前驅 y 都滿足 g(y) != 0，對于所有 g(x) != 0的頂點x，它存在一個后繼頂點y滿足g(y) = 0。

SG函數的意義：

1、當g(x) = k 時，都存在x的一個后繼 y 滿足 g(y) = i(0<=i < k)，顯然成立

2、當某枚棋子的SG值為 k 時，可以將它變為[0,k)但不能不變。這與Nim游戲相似，每次選擇一堆數量為k的石子，可以將它變為小于k的數量，但不能不變。這表明，如果將n枚棋子所在頂點的SG值看作棋子的個數，那么Nim游戲的必勝策略都對應與原來n枚棋子的必勝策略！

3、對于 n 枚棋子，設它們對應的SG值分別為(a1,a2,...,an)，再設局面(a1,a2,...,an)

時的Nim游戲的一種必勝策略為把 ai 變成 k，那么原游戲的一種必勝策略就是把第i枚棋子移動到一個SG值為k的頂點。這就相當于可以看作，每次最聰明的操作是按照Nim游戲SG(N)值來移動，例如我們想把SG(N)值變為SG(小于N)，就滿足最聰明移動，但我們真正移動的又不是SG(N)的值，移動的是原來頂點N的值，SG(小于N)的值是我們想要的最聰明的值。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的SG函数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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