8.拉普拉斯變換

一、拉普拉斯變換定義

要知道不是所有函數傅里葉變換都存在，為了找到收斂變換，在傅里葉變換基礎上，信號乘以一個衰減因子$e^{?\sigma t}$于是得到拉普拉斯變換對：
$$\begin{array}{rl}{F}_{(}s)& ={\int }_0^{\infty }f(t)e^{?st}dt\\ f(t)& =\frac{1}{2\pi }{\int }_{\sigma ?j\infty }^{\sigma +j\infty }F(s)e^{st}ds\end{array}$$

分析發現拉氏正變換是一個定積分，拉氏反變換是復變函數積分。

二、常用拉普拉斯變換
$$u(t)\leftarrow \to \frac{1}{s}$$

$$e^{?at}=\frac{1}{s+a}(\sigma >?a)$$

$$\delta (t)\leftarrow \to 1$$

三、拉普拉斯變換基本性質

? 1.線性疊加特性

?

? 2.原函數微分
$$\frac{df(t)}{dt}\leftarrow \to sF(s)?f(0_{?})$$
? 3.原函數積分
$${\int }_{?\infty }^{t}f(\tau )d\tau =\frac{F(s)}{s}+\frac{f^{?1}(0)}{s}$$
? 4.卷積
$$f_1(t)?f_2(t)\leftarrow \to F_1(s)F_2(s)$$

四、拉普拉斯逆變換

? 1.部分分式分解

? 2.留數法

五，RLC元件的時域關系

$$\begin{array}{rl}{v}_R(t)& =R{i}_R(t)\\ v_L(t)& =L\frac{d{i}_L(t)}{dt}\\ v_C(t)& =\frac{1}{C}{\int }_{?\infty }^t{i}_C(\tau )d\tau \end{array}$$

故不考慮初始條件得到S域的元件等價阻抗模型
$$R，sL，\frac{1}{sC}$$
六、系統函數
$$H(s)\leftarrow \to h(t)$$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的8.拉普拉斯变换的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。