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信号与系统拉普拉斯变换

發布時間：2023/12/10 windows 43 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了信号与系统拉普拉斯变换小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

拉普拉斯變換

拉普拉斯變換在整個學習過程中一般出現在大題中，所以這也是信號與系統中比較重要的知識點，下來我們學習一下相關內容。

常見的拉普拉斯變換

拉普拉斯逆變換

s域系統分析

系統的s域框圖

單邊拉氏變換與傅里葉變換

拉普拉斯變換性質

1.常見的拉普拉斯變換

時域s域

$δ(t)\large\delta (t)$	$1,σ>?∞\large1,\sigma >-\infty$
$δ′(t)\large\delta ^{'}(t)$	$s,σ>?∞\large s,\sigma >-\infty$
$ε(t),1\large \varepsilon (t),1$	$1s,σ>0\Large \frac{1}{s},\sigma >0$
$e?s0t\Large e^{-s_{0}t}$	$1s+s0,s0=σ0+jω0,σ>?σ0\Large\frac{1}{s+s_{0}},s_{0}=\sigma _{0}+j\omega _{0}, \sigma >-\sigma _{0}$
$cos?ω0t=ejω0t+e?jω0t2\Large \cos \omega _{0}t=\frac{e^{j\omega _{0}t}+e^{-j\omega _{0}t}}{2}$	$ss2+ω02\Large\frac{s}{s^{2}+\omega ^{2}_{0}}$
$sin?ω0t=ejω0t?e?jω0t2j\Large \sin \omega _{0}t=\frac{e^{j\omega _{0}t}-e^{-j\omega _{0}t}}{2j}$	$ω0s2+ω02\Large\frac{\omega _{0}}{s^{2}+\omega ^{2}_{0}}$
$gτ(t?τ2)(gτ(t?τ2)\large g _{\tau }(t-\frac{\tau }{2} )(g _{\tau }(t-\frac{\tau }{2} )$ 在 $0<t<τ0<t<\tau$ 范圍內值為1，其余范圍值為零。)	$1?e?sτs,σ>?∞\Large\frac{1-e^{-s\tau }}{s} ,\sigma >-\infty$

對于有始周期信號 $fτ(t)f_{\tau }(t)$

已知 $δT(t)=∑n=?∞∞δ(t?nT)\delta _{T}(t)=\sum_{n=-\infty }^{\infty } \delta (t-nT)$
求解 $fT(t)=f0t?δT(t)。f_{T}(t)=f_{0}{t}\ast \delta_{T}(t)。$

則 $fT(t)?F0(s)?∑n=0∞e?nTsf_{T}(t)\leftrightarrow F_{0}(s)\cdot \sum_{n=0}^{\infty } e^{-nTs}$
變換后可得
$F0(s)?(1+e?Ts+e?2Ts+…)=F0(s)?11?e?TsF_{0}(s)\cdot(1+e^{-Ts}+e^{-2Ts}+\dots )= F_{0}(s)\cdot\frac{1}{1-e^{-Ts}}$

所以
$∑n=0∞δ(t?nT)?11?e?sT\colorbox{yellow}{$\sum_{n=0}^{\infty } \delta (t-nT)\leftrightarrow\frac{1}{1-e^{-sT}} $}$

$∑n=0∞f0(t?nT)?F0(s)1?e?Ts\colorbox{yellow}{$\sum_{n=0 }^{\infty } f_{0} (t-nT)\leftrightarrow \frac{F_{0}(s)}{1-e^{-Ts}}$}$
注意這里求解的過程用到了拉普拉斯變換性質中的時移性質和時域卷積定理。
舉個有關有始周期信號的例子，已知 $11?e?sT\frac{1}{1-e^{-sT}}$ ,求其時域周期信號函數。

$11?e?sT=1?e?sT1?e?2sT=(1?e?sT)?11?e?2sT\large\frac{1}{1-e^{-sT}}=\frac{1-e^{-sT}}{1-e^{-2sT}}=(1-e^{-sT})\cdot \frac{1}{1-e^{-2sT}}$

$(1?e?sT)?11?e?2sT?[δ(t)?δ(t?T)]?∑n=0∞δ(t?2nT)\large (1-e^{-sT})\cdot \frac{1}{1-e^{-2sT}}\leftrightarrow[\delta (t)-\delta (t-T)]\ast \sum_{n=0}^{\infty } \delta (t-2nT)$
$[δ(t)?δ(t?T)]?∑n=0∞δ(t?2nT)=∑n=0∞δ(t?2nT)?∑n=0∞δ(t?(2n+1)T)[\delta (t)-\delta (t-T)]\ast \sum_{n=0}^{\infty } \delta (t-2nT)=\sum_{n=0}^{\infty } \delta (t-2nT)-\sum_{n=0}^{\infty }\delta (t-(2n+1)T)$

4.系統的s域框圖

(1)數乘器

(2)加法器

(3)積分器

零狀態時：

$1s\frac{1}{s}$ 是s域積分器的系統函數

5. 單邊拉氏變換與傅里葉變換

$F(s)=∫0∞f(t)e?stdt,Re[s]>σ0F(s)=\int_{0}^{\infty } f(t)e^{-st}dt,Re[s]>\sigma _{0}$
$F(jω)=∫?∞∞f(t)e?jωtdtF(j\omega )=\int_{-\infty }^{\infty } f(t)e^{-j\omega t}dt$
要對其關系進行討論，f(t)必須為因果信號。
根據收斂坐標 $σ0\sigma _{0}$ 的值可分為三種情況：
(1) $σ0<0\sigma _{0}<0$ 時，F(s)的收斂域包含 $jωj\omega$ 軸。
$F(jω)=F(s)∣s=jωF(j\omega)=F(s)|_{s=j\omega}$
(2) $σ0>0\sigma _{0}>0$ 時, $F(jω)F(j\omega)$ 不存在。
舉個例子

$f(t)=e2tε(t)?F(s)=1s?2,σ>2f(t)=e^{2t}\varepsilon (t)\leftrightarrow F(s)=\frac{1}{s-2},\sigma>2$
所以不存在。

(3) $σ0=0\sigma _{0}=0$ 時，即F(s)的收斂邊界為 $jωj\omega$ 軸。
$F(jω)=lim?σ→0F(s)F(j\omega)=\lim_{\sigma \to 0} F(s)$
$F(jω)=F(s)∣s=jω+∑i=1NπKiδ(ω?ωi)F(j\omega)=F(s)|_{s=j\omega}+\sum_{i=1}^{N} \pi K_{i}\delta (\omega -\omega _{i})$
舉個例子

$當f(t)=ε(t)?F(s)=1s當f(t)=\varepsilon (t)\leftrightarrow F(s)=\frac{1}{s}$
$F(jω)=F(s)∣s=jω+πδ(ω)=1jω+πδ(ω)F(j\omega)=F(s)|_{s=j\omega}+\pi \delta(\omega)=\frac{1}{j\omega}+\pi \delta(\omega)$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的信号与系统拉普拉斯变换的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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