Author：AXYZdong
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文章目錄

• 前言
• 部分分式分解
• 有理真分式的情形
• • 1、極點為實數，無重根
  • 2、包含共軛復數極點
  • 3、有多重極點
• 總結

前言

拉普拉斯逆變換求解方法：

（1）根據定義，復變函數積分（比較困難）

（2）部分分式分解（常用）

（3）留數定理

部分分式分解

若象函數 $F(s)$ 是 $s$ 的有理分式，可寫為：
$$F(s)=\frac{b_m{s}^m+b_{m?1}{s}^{m?1}+...+b_{1}s+b_0}{s^n+a_{n?1}{s}^{n?1}+...+a_{1}s+a_0}$$

若 $m\ge n$ （假分式），可用多項式除法將象函數 $F(s)$ 分結尾有理多項式 $P(s)$ 與有理真分式之和。

$$F(s)=P(s)+\frac{B_0(s)}{A(s)}$$

有理真分式的情形

若 $F(s)$ 是 $s$ 實系數有理真分式（$m<n$），則可寫為：
$$F(s)=\frac{B(s)}{A(s)}=\frac{b_m{s}^m+b_{m?1}{s}^{m?1}+...+b_{1}s+b_0}{s^n+a_{n?1}{s}^{n?1}+...+a_{1}s+a_0}$$

$A(s)$ 稱為特征多項式，方程 $A(s)=0$ 稱為特征方程，它的根稱為特征根，也稱為 $F(s)$ 的固有頻率。 $n$ 個特征根 $p_i$ 稱為 $F(s)$ 的極點。

1、極點為實數，無重根

例：$$F(s)=\frac{2s+1}{s(s+2)(s+3)}$$

解：令：$$F(s)=\frac{k_1}{s}+\frac{k_2}{s+2}+\frac{k_3}{s+3}$$
$$\begin{gathered} k_1=sF(s){|}_{s=0}=1/6, \\ {k}_2=(s+2)F(s){|}_{s=?2}=3/2 \\ {k}_3=(s+3F(s){|}_{s=?3}=?5/3 \end{gathered}$$
故：$$F(s)=\frac{1}{6s}+\frac{3}{2(s+2)}+\frac{?5}{3(s+3)}$$
$F(s)$ 拉式反變換為 $$f(t)=(\frac{1}{6}+\frac{3}{2}{e}^{?2t}?\frac{5}{3}{e}^{?3t})?(t)$$

2、包含共軛復數極點

例：$$F(s)=\frac{s^2+3}{(s+2)(s^2+2s+5)}$$

解：$$F(s)=\frac{s^2+3}{(s+1+j2)(s+1?j2)(s+2)}$$
令：$$F(s)=\frac{k_1}{s+1?j2}+\frac{k_2}{s+1+j2}+\frac{k_3}{s+2}$$
$$p_{1,2}=?\alpha \pm j\beta ,(\alpha =1,\beta =2)$$
$$k_1=(s+1?j2)F(s){|}_{s=?1+j2}=\frac{?1+j2}{5}$$
$$即：k_{1,2}=A\pm jB,(A=?\frac{1}{5},B=\frac{2}{5})$$
$$k_1=(s+2)F(s){|}_{s=?2}=\frac{7}{5}$$
故：$$F(s)=\frac{\frac{?1+j2}{5}}{s+1?j2}+\frac{\frac{?1?j2}{5}}{s+1+j2}+\frac{\frac{7}{5}}{s+2}$$
$F(s)$ 拉式反變換為 $$f(t)=\{2e^{?t}[?\frac{1}{5}\cos (2t)?\frac{2}{5}\sin (2t)]+\frac{7}{5}{e}^{?2t}\}?(t)$$

3、有多重極點

例：$$F(s)=\frac{s?2}{s(s?1{)}^2}$$

解：令：$$F(s)=\frac{k_{11}}{(s?1{)}^2}+\frac{k_{12}}{(s?1)}+\frac{k_2}{s}$$
令：$$F_1(s)=(s?1{)}^{2}F(s)=\frac{s?2}{s}$$
$k_{11}=F_1(s){|}_{s=1}=?1,k_{12}=\frac{d}{ds}{F}_1(s)=\frac{s?(s?2)}{s^2}{|}_{s=1}=2,k_2=sF(s){|}_{s=0}=?2$
故：$$F(s)=\frac{?1}{(s?1{)}^2}+\frac{2}{(s?1)}+\frac{?2}{s}$$
$F(s)$ 拉式反變換為 $$f(t)=(?t{e}^t+2e^t?2)?(t)$$

總結

部分分式分解還是比較常用的，注意分解步驟，計算時仔細一點。常用的拉氏變換要記得。

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總結

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