傳送門

題意：給定$n,m,f(0),f(1),......,f(n)$，求$f(m),f(m+1),......f(m+n)$ 模$998244353$

$n\le 100000,m\le 1e8,n<m$

紀念第一道獨立推出來的多項式

看這數據范圍和模數，盲猜卷積

先暴力拉格朗日

$$f(x)=\sum _{i=0}^n{y}_i\prod _{i=j}\frac{x?x_j}{x_i?x_j}$$

代入

$$f(m+k)=\sum _{i=0}^n{y}_i\prod _{i=j}\frac{m+k?j}{i?j}$$

下面兩個階乘就完了

上面是$(m+k?n)...(m+k)$挖掉$(m+k?i)$

$$\frac{f(m+k)}{(m+k{)}^{\underline{n+1}}}=\sum _{i=0}^n\frac{y_i}{i!(?1{)}^{n?i}(n?i)!(m+k?i)}$$

令

$$f(i)=\frac{y_i}{i!(?1{)}^{n?i}(n?i)!},g(i)=\frac{1}{m+i}$$

顯然這是個卷……

個鬼啊，卷出來的下標是$k$，而卷積要求的是$n$

冷靜分析,出現這樣的原因是$g$的參數可以是負數

有負數怎么辦？ 平移啊

令

$$g(i)=\frac{1}{m?n+i}$$

這樣

$$\begin{gathered} \frac{f(m+k)}{(m+k{)}^{\underline{n+1}}}=\sum _{i=0}^{n+k}f(i)g(n+k?i) \\ =\sum _{i=0}^n\frac{y_i}{i!(?1{)}^{n?i}(n?i)!(m+k?i)} \end{gathered}$$

($i>n$時，$f(i)=0$)

卷出來是$n+k$，再平移回去

然后需要乘一個下降冪，維護當前值順便滾一下即可

#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <cctype> #define MAXN 524288 using namespace std; const int MOD=998244353; typedef long long ll; int fac[MAXN],finv[MAXN]; inline int add(const int& x,const int& y){return x+y>=MOD? x+y-MOD:x+y;} inline int dec(const int& x,const int& y){return x<y? x-y+MOD:x-y;} inline int qpow(int a,int p) {int ans=1;while (p){if (p&1) ans=(ll)ans*a%MOD;a=(ll)a*a%MOD;p>>=1;}return ans; } #define inv(x) qpow(x,MOD-2) int r[MAXN],rt[2][24]; inline void init(const int& l){for (int i=0;i<(1<<l);i++) r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));} void NTT(int* a,int l,int type) {int lim=1<<l;for (int i=0;i<lim;i++) if (i<r[i]) swap(a[i],a[r[i]]);for (int L=0;L<l;L++){int mid=1<<L,len=mid<<1;int Wn=rt[type][L+1];for (int s=0;s<lim;s+=len)for (int k=0,w=1;k<mid;k++,w=(ll)w*Wn%MOD){int x=a[s+k],y=(ll)w*a[s+mid+k]%MOD;a[s+k]=add(x,y);a[s+mid+k]=dec(x,y);}}if (type){int t=inv(lim);for (int i=0;i<lim;i++) a[i]=(ll)a[i]*t%MOD;} } int y[MAXN]; int f[MAXN],g[MAXN]; int main() {rt[0][23]=qpow(3,119);rt[1][23]=inv(rt[0][23]);for (int i=22;i>=0;i--){rt[0][i]=(ll)rt[0][i+1]*rt[0][i+1]%MOD;rt[1][i]=(ll)rt[1][i+1]*rt[1][i+1]%MOD;}int n,m;scanf("%d%d",&n,&m);for (int i=0;i<=n;i++) scanf("%d",&y[i]);fac[0]=1;for (int i=1;i<=n;i++) fac[i]=(ll)fac[i-1]*i%MOD;finv[n]=inv(fac[n]);for (int i=n-1;i>=0;i--) finv[i]=(ll)finv[i+1]*(i+1)%MOD;int l=0;while ((1<<l)<=3*n) ++l;for (int i=0;i<=n;i++) f[i]=(ll)finv[i]*((n-i)&1? MOD-finv[n-i]:finv[n-i])%MOD*y[i]%MOD;for (int i=0;i<=(n<<1);i++) g[i]=inv(m+i-n);init(l);NTT(f,l,0);NTT(g,l,0);for (int i=0;i<(1<<l);i++) f[i]=(ll)f[i]*g[i]%MOD;NTT(f,l,1);for (int i=0;i<=n;i++) f[i]=f[i+n]; // for (int i=0;i<=n;i++) f[i]=add(f[i],(ll)m*fac[i]%MOD*((n-i)&1? MOD-fac[n-i]:fac[n-i])%MOD); // for (int i=0;i<=n;i++) f[i]=(ll)y[i]*inv(f[i])%MOD; // for (int k=0;k<=n;k++) // for (int i=0;i<=n;i++) // f[k]=add(f[k],(ll)y[i]*inv((ll)fac[i]*((n-i)&1? MOD-fac[n-i]:fac[n-i])%MOD*(m+k-i)%MOD)%MOD);int tmp=1;for (int i=m-n;i<=m;i++) tmp=(ll)tmp*i%MOD;for (int k=0;k<=n;k++){f[k]=(ll)f[k]*tmp%MOD;tmp=(ll)tmp*inv(m+k-n)%MOD*(m+k+1)%MOD;}for (int i=0;i<=n;i++) printf("%d ",f[i]);return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【LOJ166】拉格朗日插值2【拉格朗日插值】【NTT卷积】的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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