文章目錄

• 題目描述
• 解析
• • 樸素算法
  • • 代碼
  • 二進制優化
  • • 代碼
• thanks for reading!

題目描述

解析

樸素算法

首先考慮樸素算法
把數量為num的物體拆成num個子物體
其價值與重量是原物體的1，2，3…num倍
然后當成獨立的物體求就行了
注意應該先枚舉重量，再枚舉子物體
因為這些子物體是不能同時取的 (因為同時取時，總個數可能會超過num）
時間復雜度：nwm
（這題這做法也能過就離譜）

代碼

#include<cstdio> #include<cstring> #include<cmath> #include<algorithm> #include<iostream> #define ll long long #define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a)) using namespace std; const int N=1e6+100; int m,n; int W,f[N]; struct node{int v,w,num; }p[N]; int main(){scanf("%d%d",&n,&W);for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%d%d%d",&p[i].v,&p[i].w,&p[i].num);}for(int i=1;i<=n;i++){for(int ww=W;ww>=p[i].w;ww--){for(int k=1;k<=p[i].num;k++){if(p[i].w*k>ww) break;f[ww]=max(f[ww],f[ww-p[i].w*k]+k*p[i].v);}}}int ans=0;for(int i=0;i<=W;i++){ans=max(ans,f[i]);}printf("%d",ans);return 0; } /* 4 20 3 9 3 5 9 1 9 4 2 8 1 3 */

二進制優化

剛才的枚舉拆分顯然十分低效
我們如何才能把物品拆分的效率提高呢？
我們嘗試把每樣物品拆成完全獨立的物品
（也就是說可以同時取）
那么我們的拆分應不重不漏，也就是要滿足以下條件：

1.加在一起不能超過總數量
2.能組合表示出1-num的所有數

顯然要考慮二進制
定義sum數組：

sum[k]= 2⁰ + 2¹ +2²+… + 2^k

找到一個最大的k，滿足：

sum[k]<=num

再讓：

R=num-sum[k]

這樣我們把物品拆成k+2個
其大小分別為：

2⁰、 2¹、2²、… 2^k、R

由于R是減出來的，加起來肯定不會超過num，條件1成立了

第二個條件，能表示出1-num的所有數的證明，可以分成兩部分：
1.對于<=sum[k]的數，顯然可以用2的0-k次冪用二進制拆分表示出來

2.對與>2^k的數A，把它減去R，也就是先拆出來一個R，由R的定義可得：

A-R <= num-R = sum[k]

這樣減去后又是一個<=sum[k]的數，就轉化為情況1了
條件二證畢
（具體的代碼實現中，我預處理了一個數組q[i]存儲num為i時符合條件的k值）
時間復雜度：nwlog（m）

代碼

#include<cstdio> #include<cstring> #include<cmath> #include<algorithm> #include<iostream> #define ll long long #define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a)) using namespace std; const int N=1e6+100; int m,n; ll W,f[N]; struct node{int v,w,num; }p[N]; int mi[50],q[N],sum[50]; void solve(){mi[0]=1;for(int i=1;i<=30;i++) mi[i]=mi[i-1]*2;sum[0]=1;q[1]=q[2]=0;int res=1,now=3;for(int k=1;k<=18;k++){res+=mi[k];for(int i=now;i<res;i++) q[i]=k-1;now=res;sum[k]=res;} } int main(){scanf("%d%d",&n,&W);for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%d%d%d",&p[i].v,&p[i].w,&p[i].num);}solve();for(int i=1;i<=n;i++){int k=q[p[i].num];for(int j=0;j<=k;j++){ll nw=p[i].w*mi[j],nv=p[i].v*mi[j];for(int p=W;p>=nw;p--){f[p]=max(f[p],f[p-nw]+nv);}}int r=p[i].num-sum[k];ll nv=p[i].v*r,nw=p[i].w*r;for(int p=W;p>=nw;p--){f[p]=max(f[p],f[p-nw]+nv);}}ll ans=0;for(int i=0;i<=W;i++){ans=max(ans,f[i]);}printf("%lld",ans);return 0; } /* 4 20 3 9 3 5 9 1 9 4 2 8 1 3 */

thanks for reading!

總結

以上是生活随笔為你收集整理的多重背包的二进制优化（ybtoj-宝物筛选）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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