图像分析：投影曲线的波峰查找
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1. 前言
在圖像分析里，投影曲線是我們經常要用到的一個圖像特征，通過投影曲線我們可以看到在某一個方向上，圖像灰度變化的規律，這在圖像分割，文字提取方面應用比較廣。一個投影曲線，它的關鍵信息就在于波峰與波谷，所以我們面臨的第一個問題就是找到波峰與波谷。
第一次涉及到求波峰與波谷時，很多人都不以為意，覺得波谷波峰還不容易，無非是一些曲線變化為零的點，從離散的角度來說，也就是:
波峰：F(x)>F(x?1)且F(x)>F(x+1)
波谷：F(x)<F(x?1)且F(x)<F(x+1)
這么簡單嗎？顯示不是，你首先就會遇到這樣的曲線圖，然后圖上的波峰點并不滿足上面的條件。
看到這種情況，你也許會考慮在上面的等式中把>和<改為≥和≤。
波峰：F(x)≥F(x?1)&&F(x)>F(x+1)? 或者?F(x)>F(x?1)&&F(x)≥F(x+1)
波谷：F(x)≤F(x?1)&&F(x)<F(x+1)? 或者?F(x)<F(x?1)&&F(x)≤F(x+1)
這次是否就這樣簡單，答案顯示不是，下面的這個圖就會讓你對一些非峰值點作出錯誤的判斷。
上面這幅圖真正的峰值只有一個，其他平臺上的點，你如果按上面修改的公式，就會被錯誤的當成波峰點。
下面讓我們看一下，到底如何能求得準確的曲線波峰與波谷。
2. 波峰波谷算法
投影曲線實際上是一個一維的向量：
V=[v1,v2,…,vn]
其中vi,i∈[1,2,…,N]，代表圖像在第i行或列上的灰度累積。當然不僅僅是投影曲線，T也可以是某一事件中變量的觀測值，我們需要研究這個變量的變化規律。
下面給出波峰與波谷的算法：
1，假投影曲線可以表示為V=[v1,v2,…,vn]。
2，計算V的一階差分向量DiffV:
Diffv(i)=V(i+1)?V(i),其中i∈1,2,…,N?1
3,對差分向量進行取符號函數運算，Trend=sign(Diffv),即遍歷Diffv，若Diffv(i)大于0，則取1；如果小于0，則取-1，否則則值為0。
sign(x)=?????10?1??if??x>0??if??x=0??if??x<0
4，從尾部遍歷Trend向量,進行如下操作：
if?Trend(i)=0且Trend(i+1)≥0，則Trend(i)=1if?Trend(i)=0且Trend(i+1)<0，則Trend(i)=?1
5，對Trend向量進行一階差分運算，如同步驟2，得到R=diff(Trend)。
6，遍歷得到的差分向量R，如果R(i)=?2，則i+1為投影向量V的一個峰值位，對應的峰值為V(i+1)；如果R(i)=2，則i+1為投影向量V的一個波谷位，對應的波谷為V(i+1)。
下面我們來結合一個實際的向量值，給中中間結合的計算。
1，V=[?5,10,10,14,14,8,8,6,6,?3,2,2,2,2,?3]。
它的曲線圖像如下把示，圖中紅色圈標出了曲線的峰值，而綠字圈標出了圖像的波谷位置。
2，計算V的一階差分，我們得到Diff(V)=[15,0,4,0,,?6,0,?2,0,?9,5,0,0,0,?5]。
3，對Diffv進行取符號運算，得到向量Trend=[1,0,1,0,?1,0,?1,0,?1,1,0,0,0,?1]。
4，對Trend作一次遍歷，如步驟4。Trend=[1,1,1,?1,?1,?1,?1,?1,?1,1,?1,?1,?1,?1]。
5，對Trend做一階差分，得到向量R=Diff(Trend)=[0,0,?2,,0,0,0,0,0,2,?2,0,0,0]。
6，遍歷向量R,我們就得到了兩個峰值點和一個波谷點。
3. 算法原理
其實上述算法的核心思路非常簡單，曲線的峰值點，滿足一階導數為0，并且滿足二階導數為負；而波谷點，則滿足一階導數為0，二階導數為正。
在上面的算法里面，我們首先計算了一階的導數Diffv，然后我們將其符號化，是因為我們并不關心一階導數的大小。
然后我們去看那些一階層數為0的地方，我們發現，那些平臺上的點，有些并不是波峰與波谷，然后很多處在上坡與下坡的路上，所以我們將它們的一階導數設為與它們所在的坡面梯度方向相同。
最后我們再來計算二階導數時，就會發現只要為2或者-2,所以曲線斜在這個點發生了變化，由正變負或由負變正。找到這些點，也就找到了原曲線中的波峰或波谷點。
4. 實現
下面給出這個算法的C++實現，findPeaks是查找波峰函數，而查找波谷函數則類似，這里沒有寫在一個函數內。函數接受一個Vecotr<int>的向量，輸出為一個vector<int>的位置向量。
void findPeak(const vector<int>& v, vector<int>& peakPositions) {vector<int> diff_v(v.size() - 1, 0);// 計算V的一階差分和符號函數trendfor (vector<int>::size_type i = 0; i != diff_v.size(); i++){if (v[i + 1] - v[i]>0)diff_v[i] = 1;else if (v[i + 1] - v[i] < 0)diff_v[i] = -1;elsediff_v[i] = 0;}// 對Trend作了一個遍歷for (int i = diff_v.size() - 1; i >= 0; i--){if (diff_v[i] == 0 && i == diff_v.size() - 1){diff_v[i] = 1;}else if (diff_v[i] == 0){if (diff_v[i + 1] >= 0)diff_v[i] = 1;elsediff_v[i] = -1;}}for (vector<int>::size_type i = 0; i != diff_v.size() - 1; i++){if (diff_v[i + 1] - diff_v[i] == -2)peakPositions.push_back(i + 1);} }總結
以上是生活随笔為你收集整理的图像分析：投影曲线的波峰查找的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
