1、網絡流

　　給定一個二分圖G = （X， E， Y）。構造與G對應的網絡G‘， 構造方法如下：

（1）增加一個源點s， 一個匯點t 。

（2）從s向X的每個頂點引一條有向邊，從Y的每個頂點向t引一條有向邊。

（3）將原圖G的每一條邊改為從X指向Y的有向邊。

（4）讓所有的邊容量為1 。

然后求最大流，就是二分圖的最大匹配邊數。

　　2、匈牙利算法

??? 首先定義增廣路：若P是圖G種一條聯通兩個未匹配定點的路徑，并且屬于M的邊和不屬于M的邊（已匹配的邊和未匹配的邊）在P上交替出現，則稱P為相對于M的一條增廣路。特別地，當一邊（v, v^'）兩端點均為非M-頂點，通路（v, v^'）亦稱為增廣路。

算法具體實現：

???（1）首先用（*）標記X中所有的非M-頂點，然后交替進行步驟（2），（3）。

????（2）選取一個剛標記（用（*）或在步驟（3）中用（y_i）標記）過的X中頂點，例如頂點x_i，然后用（x_i）去標記Y中頂點y，如果x_i與y為同一非匹配邊的兩端點，且在本步驟中y尚未被標記過。重復步驟（2），直至對剛標記過的X中頂點全部完成一遍上述過程。

????（3）選取一個剛標記（在步驟（2）中用（x_i）標記）過的Y中結點，例如y_i，用（y_i）去標記X中結點x，如果y_i與x為同一匹配邊的兩端點，且在本步驟中x尚未被標記過。重復步驟（3），直至對剛標記過的Y中結點全部完成一遍上述過程。

（2），（3）交替執行，直到下述情況之一出現為止：

????（Ⅰ）標記到一個Y中頂點y，它不是M-頂點。這時從y出發循標記回溯，直到（*）標記的X中頂點x，我們求得一條增廣路。設其長度為2k+1，顯然其中k條是匹配邊，k+1條是非匹配邊。

????（Ⅱ）步驟（2）或（3）找不到可標記結點，而又不是情況（Ⅰ）。

????（4）?當?（2），（3）步驟中斷于情況（Ⅰ），則將增廣路中非匹配邊改為匹配邊，原匹配邊改為非匹配邊（從而得到一個比原匹配多一條邊的新匹配），回到步驟（1），同時消除一切現有標記。

????（5）對一切可能，（2）和（3）步驟均中斷于情況（Ⅱ），或步驟（1）無可標記結點，算法終止（算法找不到增廣路）。

轉自：http://hi.baidu.com/sysucs/blog/item/c1c58dee4c5247282df53484.html

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　　2-21：

　　今天做一下補充，在Matrix67 大神的解釋：

　　說穿了，就是你從二分圖中找出一條路徑來，讓路徑的起點和終點都是還沒有匹配過的點，并且路徑經過的連線是一條沒被匹配、一條已經匹配過，再下一條又沒匹配這樣交替地出現。找到這樣的路徑后，顯然路徑里沒被匹配的連線比已經匹配了的連線多一條，于是修改匹配圖，把路徑里所有匹配過的連線去掉匹配關系，把沒有匹配的連線變成匹配的，這樣匹配數就比原來多1個。不斷執行上述操作，直到找不到這樣的路徑為止。

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　?? 下面是匈牙利算法的實現：

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1 bool dfs(int t) {
2 for(int i = 1; i <= stu; i++) {
3 if(!usd[i] && g[t][i]) {
4 usd[i] = true;
5 if(Link[i] == -1 || dfs(Link[i])) {
6 Link[i] = t;
7 return true;
8 }
9 }
10 }
11 return false;
12 }
13
14 for(i = 1; i <= cou; i++) {
15 memset(usd, 0, sizeof(usd));
16 if(dfs(i)) ans++;
17 }

　

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的二分图最大匹配问题的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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