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• 一、指數生成函數求解多重集排列示例 2

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一、指數生成函數求解多重集排列示例 2

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使用 白色 紅色 藍色 涂色 $n$ 個格子 , 白色的涂色個數是偶數 , 求涂色方案個數

這是一個 排列問題 , 當不同的方格涂色交換之后 , 就變成了不同的方案 ,

紅色 , 藍色 涂色 , 沒有限制 , 涂色個數可以是 $0,1,2,3,4,?$

白色 涂色 , 涂色個數是偶數個 , 涂色個數是 $0,2,4,6,8,?$

紅色 , 藍色 涂色個數 $0,1,2,3,4,?$ 序列 , 對應的生成函數項為 :

$\frac{x^0}{0!}+\frac{x^1}{1!}+\frac{x^2}{2!}?=1+x+\frac{x^2}{2!}+?$

白色 涂色個數 $0,2,4,6,8,?$ 序列 , 對應的生成函數項為 :

$\frac{x^0}{0!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}?=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+?$

上述涂色方案個數的指數生成函數是 :

$G_e(x)=(1+x+\frac{x^2}{2!}+?)(1+x+\frac{x^2}{2!}+?)(1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+?)$

其中 $1+x+\frac{x^2}{2!}+?$ 可以 寫成 $e^x$ 形式 ;

其中 $1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+?$ 可以寫成如下形式 :

$1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+?=\frac{1}{2}(e^x+e^{?x})$

$e^x+e^{?x}$ 相加 , 奇次冪符號相反 , 直接約掉 , 偶數次冪 變為原來的兩倍, 因此在外面乘以 $\frac{1}{2}$ ;

將上述 $e^x$ 和 $\frac{1}{2}(e^x+e^{?x})$ 替換到 指數生成函數中 ;

$G_e(x)=(1+x+\frac{x^2}{2!}+?)(1+x+\frac{x^2}{2!}+?)(1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+?)$

$=\frac{1}{2}(e^x+e^{?x})(e^x)(e^x)$

$=\frac{1}{2}{e}^{3x}+\frac{1}{2}{e}^x$

將 $\frac{1}{2}{e}^x$ 展開后為 $\frac{1}{2}(1+x+\frac{x^2}{2!}+?)=\frac{1}{2}\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}$

將 $\frac{1}{2}{e}^{3x}$ 展開后為 $\frac{1}{2}(1+3x+\frac{(3x{)}^2}{2!}+?)=\frac{1}{2}\sum _{n=0}^{\infty }\frac{3^n{x}^n}{n!}$

$=\frac{1}{2}\sum _{n=0}^{\infty }\frac{3^n{x}^n}{n!}+\frac{1}{2}\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}$

$=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{3^n+1}{2}?\frac{x^n}{n!}$

$\frac{x^n}{n!}$ 前的系數是 $\frac{3^n+1}{2}$

因此 白色 紅色 藍色 涂色 $n$ 個格子 , 白色是偶數的情況下 , 涂色方案有 $\frac{3^n+1}{2}$ 種 ;

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【组合数学】指数生成函数 ( 指数生成函数求解多重集排列示例 2 )的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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