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【组合数学】生成函数 ( 性质总结 | 重要的生成函数 ) ★

發布時間：2025/6/17 编程问答 24 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了【组合数学】生成函数 ( 性质总结 | 重要的生成函数 ) ★ 小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

文章目錄

一、生成函數性質總結
二、生成函數與序列的對應

參考博客 :

【組合數學】生成函數簡要介紹 ( 生成函數定義 | 牛頓二項式系數 | 常用的生成函數 | 與常數相關 | 與二項式系數相關 | 與多項式系數相關 )
【組合數學】生成函數 ( 線性性質 | 乘積性質 )
【組合數學】生成函數 ( 移位性質 )
【組合數學】生成函數 ( 求和性質 )
【組合數學】生成函數 ( 換元性質 | 求導性質 | 積分性質 )

一、生成函數性質總結

1 . 生成函數線性性質 :

乘法 : $bn=αanb_n = \alpha a_n$ , 則 $\alpha A(x)$

加法 : $c_n = a_n + b_n$ , 則 $C (x) = A (x) + B (x)$

2 . 生成函數移位性質 :

向后移位 : $\begin{cases} 0, & n < l \\\\ a_{n-l}, & n \geq l \end{cases}$ , 則 $B(x) = x^l A(x)$

向前移位 : $b_n = a_{n+1}$ , 則 $\cfrac{A(x) - \sum\limits_{n=0}^{l-1} a_nx^n }{x^l}$

3 . 生成函數乘積性質 : $cn=∑i=0naibn?ic_n = \sum\limits_{i=0}^n a_i b_{n-i}$ , 則有 $\cdot B(x)$

生成函數求和性質 :

向前求和 : $bn=∑i=0naib_n = \sum\limits_{i=0}^{n}a_i$ , 則 $\cfrac{A(x)}{1-x}$

向后求和 : $bn=∑i=n∞aib_n = \sum\limits_{i=n}^{\infty}a_i$ , 并且 $=\sum\limits_{i=n}^{\infty}a_i$ 收斂 , 則 $\cfrac{A(1) - xA(x)}{1-x}$

4 . 生成函數換元性質 : $bn=αnanb_n = \alpha^n a_n$ , 則 $\alpha x)$

5 . 生成函數求導性質 : $b_n = n a_n$ , 則 $B (x) = x A^{'} (x)$

6 . 生成函數積分性質 : $bn=ann+1b_n = \cfrac{a_n}{n+1}$ , 則 $=\cfrac{1}{x} \int^{x}_{0} A( x)dx$

二、生成函數與序列的對應

給定序列 ${a_n\}$ 或 $a_n$ 的遞推方程 , 求生成函數 $G (x)$ , 需要使用級數的性質和一些重要的級數 ;

常用的生成函數取值 :

$1$ 數列相關 :

${a_n\}$ , $a_n = 1^n$ ; $A(x)=∑n=0∞xn=11?x\begin{aligned} A(x) & = \sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x} \end{aligned}$

${a_n\}$ , $a_n = (-1)^n$ ; $A(x)=∑n=0∞(?1)nxn=11+x\begin{aligned} A(x) & = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n = \frac{1}{1+x} \end{aligned}$

${a_n\}$ , $a_n = k^n$ , $k$ 為正整數 ; $A(x)=∑n=0∞knxn=11?kx\begin{aligned} A(x) & = \sum_{n=0}^{\infty} k^n x^n = \frac{1}{1-kx} \end{aligned}$

二項式系數相關 :

${a_n\}$ , $an=(mn)a_n = \dbinom{m}{n}$ ; $A(x)=∑n=0∞(mn)xn=(1+x)m\begin{aligned} A(x) & = \sum_{n=0}^{\infty} \dbinom{m}{n} x^n = ( 1 + x ) ^m \end{aligned}$

組合數相關 :

${a_n\}$ , $an=(m+n?1n)a_n = \dbinom{m+n-1}{n}$ , $m, n$ 為正整數 ; $A(x)=∑n=0∞(m+n?1n)xn=1(1?x)m\begin{aligned} A(x) & = \sum_{n=0}^{\infty} \dbinom{m+n-1}{n} x^n = \frac{1}{{(1-x)}^m} \end{aligned}$

${a_n\}$ , $an=(?1)n(m+n?1n)a_n = (-1)^n \dbinom{m+n-1}{n}$ , $m, n$ 為正整數 ; $A(x)=∑n=0∞(?1)n(m+n?1n)xn=1(1+x)m\begin{aligned} A(x) & = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \dbinom{m+n-1}{n} x^n = \frac{1}{{(1+x)}^m} \end{aligned}$

${a_n\}$ , $an=(n+1n)a_n = \dbinom{n+1}{n}$ , $n$ 為正整數 ;
$A(x)=∑n=0∞(n+1n)xn=∑n=0∞(n+1)xn=1(1?x)2\begin{aligned} A(x) & = \sum_{n=0}^{\infty} \dbinom{n+1}{n} x^n \\ & = \sum_{n=0}^{\infty} (n+1) x^n \\ & = \frac{1}{{(1-x)}^2} \end{aligned}$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【组合数学】生成函数 ( 性质总结 | 重要的生成函数 ) ★的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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