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• 一、遞推方程示例 1
• 二、遞推方程示例小結

一、遞推方程示例 1

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編碼系統使用 $8$ 進制數字 , 對信息編碼 , $8$ 進制數字只能取值 $0,1,2,3,4,5,6,7$ ,

只有當某個編碼含有 偶數個 $7$ 時 , 該編碼才是有效的 ,

求 $n$ 位的編碼中有效的編碼個數 ?

分析 :

$n$ 位長的編碼 , 可以 由 $n?1$ 位長的編碼 , 后面加上 一位 $8$ 進制數字 構成 ;

對于每個 $n?1$ 位長的編碼 , 后面加上一位數字 , 使得最終的編碼 滿足 有效編碼的要求 , 即含有偶數個 $7$ , 就可以得到一個有效的 $n$ 位長的編碼 ;

1 . 設 $n$ 位長的有效編碼個數是 $a_n$ 個 ;

則有 $n?1$ 位長的有效編碼個數是 $a_{n?1}$ 個 ;

現在考慮 $n$ 位長的編碼 與 $n?1$ 位長的編碼之間的關聯關系 ;

( 1 ) 偶數個 $7$ : 假定當前已經有一個 $n?1$ 位長的 $8$ 進制編碼串 , 恰好含有偶數個 $7$ , 即該編碼已經滿足有效編碼的要求 , 在加上一位數字 :

• 不可以加的數字 : 不能加 $7$ , 加了 $7$ 之后 , 就會變成 奇數個 $7$ , 成為無效編碼 ;
• 可以加的數字 : 只能加 $0,1,2,3,4,5,6$ 數字 , 這里有 $7$ 種方式 ;

由一個 $n?1$ 位長的 , 滿足要求的編碼 , 有 $7$ 種方式生成一個 $n$ 位長的編碼 ;

( 2 ) 奇數個 $7$ : 假定當前已經有一個 $n?1$ 位長的 $8$ 進制編碼串 , 恰好含有奇數個 $7$ , 即該編碼不滿足有效編碼的要求 , 在加上一位數字 :

• 不可以加的數字 : 不能加 $0,1,2,3,4,5,6$ 數字 , 加了以后 , 最終結果還是有奇數個 $7$ , 不滿足有效編碼的要求 ;
• 可以加的數字 : 只能加 $7$ , 加了 $7$ 之后 , 就會變成 偶數個 $7$ , 成為有效編碼 ;

由一個 $n?1$ 位長的 , 不滿足要求的編碼 , 有 $1$ 種方式生成一個 $n$ 位長的編碼 ;

3 . 總個數 $8^{n?1}$ :

$n?1$ 位長的編碼的總數是 $8^{n?1}$ 個 , 每個位置都有 $8$ 種可能的選擇 , 有 $n?1$ 個位置 ;

又可以表述成 : $n?1$ 位長的包括 , 奇數個 $7$ , 偶數個 $7$ , 的編碼總數是 $8^{n?1}$

編碼中如果沒有 $7$ , 是 $0$ 個 $7$ , 算偶數個 $7$ ;

4 . $n?1$ 位編碼的有效個數 $a_{n?1}$ :

$n?1$ 位中 , 偶數個 $7$ 的個數 , 就是有效編碼的個數 , 即上述假設的

“設 $n$ 位長的有效編碼個數是 $a_n$ 個” , 則有

"$n?1$ 位長的有效編碼個數是 $a_{n?1}$ 個"

5 . $n?1$ 位編碼的無效個數 $8^{n?1}?a_{n?1}$ :

$n?1$ 位長的包括 奇數個 $7$ , 偶數個 $7$ 的 編碼總數是 $8^{n?1}$

$n?1$ 位中 , 偶數個 $7$ 的個數 , 就是 有效編碼的個數 , 即上述假設的 $a_{n?1}$

則 $n?1$ 位中 , 奇數個 $7$ 的個數 , 就是無效編碼的個數 , 即上述 總個數減去有效編碼個數 , 結果是 :

$$8^{n?1}?a_{n?1}$$

6 . 分析第 $n$ 項與 $n?1$ 項之間的關系 , 即 $n$ 位有效編碼個數 與 $n?1$ 位有效編碼個數 :

有效編碼個數對應的添加方法數 : $n?1$ 位編碼的有效個數 $a_{n?1}$ , 含有偶數個 $7$ , 每個有效編碼 , 添加一位數字 , 組成 $n$ 位有效編碼 , 有 $7$ 種對應的添加方式 , 即添加 $0,1,2,3,4,5,6$ 數字 , 七種方式 ; 方法數是 $7a_{n?1}$

無效編碼個數對應的添加方法數 : $n?1$ 位編碼的無效個數 $8^{n?1}?a_{n?1}$ , 還有奇數個 $7$ , 每個無效編碼 , 只能添加一個數字 $7$ , 組成 $n$ 位有效編碼 , 只有一種方法 ; 方法數是 $8^{n?1}?a_{n?1}$

因此這里可以寫出 $n$ 位編碼的有效個數 $a_n$ 與 $n?1$ 位編碼有效個數 $a_{n?1}$ 的關系 :

$a_n$ $=$ $7a_{n?1}$ $+$ $8^{n?1}?a_{n?1}$

化簡后得到 :

$a_n$ $=$ $6a_{n?1}$ $+$ $8^{n?1}$

7 . 初值討論

如果只有 $1$ 位編碼 , 肯定不能是 $7$ , 這樣就含有奇數個 ( $1$ 個 ) $7$ , 是無效編碼 ;

只能是 $0,1,2,3,4,5,6$ 這 $7$ 種 , 因此有 $1$ 位編碼時 , 有效編碼個數是 $7$ 個 ,

產生 遞推方程初值 $a_1=7$

8 . 最終得到的遞推方程 :

遞推方程 : $a_n$ $=$ $6a_{n?1}$ $+$ $8^{n?1}$

初值 : $a_1=7$

解上述遞推方程的通項公式 : $a_n=\frac{6^n+8^n}{2}$

二、遞推方程示例小結

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該問題是一個具體的計數問題 , 上述問題并不是簡單的計數 ,

該計數帶參數 $n$ ,

這種類型的計數 , 可以看成一個 數列計數結果 ,

如果可以找到該數列 , 后項 , 前項 , 的依賴關系 ,

并且知道 初值 ,

就可以 解出該數列的通項公式 ,

該通項公式就恰好對應該計數結果 ;

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【组合数学】递推方程 ( 递推方程示例 1 | 列出递推方程 )的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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