文章目錄

• 一、遞推方程 內容概要
• 二、遞推方程 定義
• 三、遞推方程 示例
• 四、斐波那契數列 ( Fibnacci )

一、遞推方程 內容概要

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遞推方程 內容概要 :

• 遞推方程定義
• 遞推方程實例
• 常系數線性遞推方程
  • 常系數線性遞推方程定義
  • 公式解法
• 遞推方程在計數問題中的應用

二、遞推方程 定義

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序列 $a_0,a_1,?,a_n,?$ , 記做 $\{a_n\}$ ,

將 $a_n$ 與 某些 $a_i(i<n)$ 聯系起來的等式 , $a_i$ 可以是 $1$ 個 , 也可以是多個 ;

將 $a_n$ 用前面若干項 $a_{n?1},a_{n?2},?$ 表示出來 ,

稱為 關于序列 $\{a_n\}$ 的 遞推方程 ;

遞推方程組成 : 下面 $3$ 個是一套 ;

• 數列
• 遞推方程
• 初值

給定遞推方程 , 和 初值 , 就可以 唯一確定一個序列 ;

• 遞推方程表達的關系 : 遞推方程 只表達了 項與之前的項 的關系 , 如果 初值不同 , 得到的數列是不同的 ;

• 遞推方程與數列關系 : 遞推方程代表的不是一個數列 , 是 若干個數列 的 共同的依賴關系 ;

遞推方程 , 就是將計數結果 , 表達成一個數列 , $\{a_n\}$ 就是通項公式 ;

序列示例 : 如選取問題 , 從 $n$ 個元素中選擇 $r$ 個元素 , 如果 $n$ 給定 , 那么 $r$ 就是這個參數 ,

• 當 $r=0$ 時的選擇個數是 $a_0$
• 當 $r=1$ 時的選擇個數是 $a_1$
  $?$
• 當 $r=n$ 時的選擇個數是 $a_n$

數列的通項 , 代表了某種計數結果 ;

三、遞推方程 示例

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1 . 階乘計算數列 : $1!,2!,3!,4!,5!,6!,?$

數列的 第 $1$ 項是 $1$ 的階乘 , 第 $2$ 項是 $2$ 的階乘 , $?$ , 第 $n$ 項是 $n$ 的階乘 ;

2 . 遞推方程 : $F(n)=nF(n?1)$

如 : 第 $4$ 項的值 $F(4)=5!$ , 就等于第 $4?1=3$ 項的值 $F(4?1)=F(3)=4!$ 乘以 $5$ ;

3 . 初值 : $F(1)=1$

根據 $F(1)=1$ 可以計算 $F(2)$ , 根據 $F(2)$ 可以計算 $F(3)$ , 根據 $F(3)$ 可以 計算 $F(4)$ , $?$ , 根據 $F(n?1)$ 可以計算 $F(n)$ ;

四、斐波那契數列 ( Fibnacci )

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1 . 斐波那契數列 : $1,1,2,3,5,8,13,?$

2 . 遞推方程 : $F(n)=F(n?1)+F(n?2)$

描述 : 第 $n$ 項等于第 $n?1$ 項 和 第 $n?2$ 項之和 ;

如 : 第 $4$ 項的值 $F(4)=5$ , 就等于

第 $4?1=3$ 項的值 $F(4?1)=F(3)=3$

加上 第 $4?2=2$ 項的值 $F(4?2)=F(2)=2$ ;

3 . 初值 : $F(0)=1,F(1)=1$

根據 $F(0)=1,F(1)=1$ 可以計算 $F(2)$ , 根據 $F(1),F(2)$ 可以計算 $F(3)$ , 根據 $F(2)F(3)$ 可以 計算 $F(4)$ , $?$ , 根據 $F(n?2),F(n?1)$ 可以計算 $F(n)$ ;

總結

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