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【组合数学】组合恒等式 ( 变下项求和 3 组合恒等式 | 变下项求和 4 组合恒等式 | 二项式定理 + 求导证明组合恒等式 | 使用已知组合恒等式证明组合恒等式 )

發(fā)布時(shí)間：2025/6/17 编程问答 25 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了【组合数学】组合恒等式 ( 变下项求和 3 组合恒等式 | 变下项求和 4 组合恒等式 | 二项式定理 + 求导证明组合恒等式 | 使用已知组合恒等式证明组合恒等式 ) 小編覺得挺不錯(cuò)的,現(xiàn)在分享給大家,幫大家做個(gè)參考.

文章目錄

一、組合恒等式 ( 變下項(xiàng)求和 ) 變系數(shù)求和 1
二、組合恒等式 ( 變下項(xiàng)求和 ) 變系數(shù)求和 1 證明 ( 二項(xiàng)式定理 + 求導(dǎo) )
三、組合恒等式 ( 變下項(xiàng)求和 ) 變系數(shù)求和 2
四、組合恒等式 ( 變下項(xiàng)求和 ) 變系數(shù)求和 2 證明 ( 使用已知恒等式證明 )

一、組合恒等式 ( 變下項(xiàng)求和 ) 變系數(shù)求和 1

組合恒等式 ( 變下項(xiàng)求和 ) 變系數(shù)求和 :

$∑k=0nk(nk)=n2n?1\sum_{k=0}^{n} k \dbinom{n}{k} = n 2^{n-1}$

$k$ 隨著求和的項(xiàng)不斷變化 , 變化范圍 $0$ ~ $n$ ;

1. 證明方法 :

二項(xiàng)式定理 : 使用二項(xiàng)式定理 + 求導(dǎo) 可以證明該組合恒等式 ;
組合恒等式代入 : 使用已知組合恒等式代入 , 消去變系數(shù) ; 即使用之前的 $3$ 個(gè)遞推式 , 簡(jiǎn)單和 , 交錯(cuò)和 , $5$ 個(gè)組合恒等式代入 ;

二、組合恒等式 ( 變下項(xiàng)求和 ) 變系數(shù)求和 1 證明 ( 二項(xiàng)式定理 + 求導(dǎo) )

使用二項(xiàng)式定理 + 求導(dǎo)方法證明下面的恒等式 :

$∑k=0nk(nk)=n2n?1\sum_{k=0}^{n} k \dbinom{n}{k} = n 2^{n-1}$

二項(xiàng)式定理 : $y)^n = \sum\limits_{k=0}^n \dbinom{n}{k}x^k y^{n-k}$

1. $y = 1$ 時(shí)有該情況 : $+1)^n = \sum\limits_{k=0}^n \dbinom{n}{k}x^k$ , 上述公式中 , 將常數(shù)項(xiàng) $k = 0$ 的情況單獨(dú)計(jì)算出來 , $(n0)x0=1\dbinom{n}{0}x^0 = 1$ , 計(jì)算過程如下 :

$+1)^n = \sum\limits_{k=0}^n \dbinom{n}{k}x^k = \dbinom{n}{0}x^0 + \sum\limits_{k=1}^n \dbinom{n}{k}x^k = 1+ \sum\limits_{k=1}^n \dbinom{n}{k}x^k$

2. 引入求導(dǎo) : 要在加和式 $∑k=1n(nk)xk\sum\limits_{k=1}^n \dbinom{n}{k}x^k$ 中出現(xiàn) $k$ 變化數(shù) , 需要對(duì) $x$ 進(jìn)行求導(dǎo) ;

這里直接對(duì) $+1)^n = 1+ \sum\limits_{k=1}^n \dbinom{n}{k}x^k$ 等式兩邊進(jìn)行求導(dǎo) ;

( 1 ) 左邊組合式 ( 根據(jù)下面的冪函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式計(jì)算 ) : $x +1)^n$ 導(dǎo)數(shù)為 $n(x+1)^{n-1}$

( 2 ) 右邊組合式 ( 根據(jù)下面的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算規(guī)則和冪函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式計(jì)算 ) : $\sum\limits_{k=1}^n \dbinom{n}{k}x^k$ 導(dǎo)數(shù)為 , $1$ 的導(dǎo)數(shù) 為 $0$ , 加上 $∑k=1n(nk)xk\sum\limits_{k=1}^n \dbinom{n}{k}x^k$ 的導(dǎo)數(shù) $∑k=1nk(nk)xk?1\sum\limits_{k=1}^n k \dbinom{n}{k}x^{k-1}$ , 最終結(jié)果是 $∑k=1nk(nk)xk?1\sum\limits_{k=1}^n k \dbinom{n}{k}x^{k-1}$

( 3 ) 左右兩邊的導(dǎo)數(shù)是相等的 :

$n(x+1)n?1=∑k=1nk(nk)xk?1n(x+1)^{n-1} = \sum\limits_{k=1}^n k \dbinom{n}{k}x^{k-1}$

冪函數(shù)求導(dǎo) : ( 很重要 )

原函數(shù) : $y = x^n$
對(duì)應(yīng)導(dǎo)數(shù) : $y' = nx^{n-1}$ \

/
常數(shù)的導(dǎo)數(shù)是 $0$ ;
/
導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算 : $\pm v)' = u' \pm v'$
/
參考 : 導(dǎo)數(shù) - 百度百科

3. 求導(dǎo)后的結(jié)果如下 :

$n(x+1)n?1=∑k=1nk(nk)xk?1n(x+1)^{n-1} = \sum\limits_{k=1}^n k \dbinom{n}{k}x^{k-1}$

假設(shè)求導(dǎo)結(jié)果中的 $x = 1$ , 有如下結(jié)果 :

$n2n?1=∑k=1nk(nk)n2^{n-1} = \sum\limits_{k=1}^n k \dbinom{n}{k}$

當(dāng) $k = 0$ 時(shí) , 有 $\dbinom{n}{k} = 0 \times \dbinom{n}{0} = 0$ ,

因此加上 $k = 0$ 的情況 , 即 $k$ 從 $0$ 開始累加 , 也不影響上述結(jié)果 :

$n2n?1=∑k=0nk(nk)n2^{n-1} = \sum\limits_{k=0}^n k \dbinom{n}{k}$

三、組合恒等式 ( 變下項(xiàng)求和 ) 變系數(shù)求和 2

組合恒等式 ( 變下項(xiàng)求和 ) 變系數(shù)求和 :

$∑k=0nk2(nk)=n(n+1)2n?2\sum_{k=0}^{n} k^2 \dbinom{n}{k} = n ( n+1 ) 2^{n-2}$

$k$ 隨著求和的項(xiàng)不斷變化 , 變化范圍 $0$ ~ $n$ ;

證明方法 :

二項(xiàng)式定理 : 使用二項(xiàng)式定理 + 求導(dǎo) 可以證明該組合恒等式 ;
組合恒等式代入 : 使用已知組合恒等式代入 , 消去變系數(shù) ; 即使用之前的 $3$ 個(gè)遞推式 , 簡(jiǎn)單和 , 交錯(cuò)和 , $5$ 個(gè)組合恒等式代入 ;

四、組合恒等式 ( 變下項(xiàng)求和 ) 變系數(shù)求和 2 證明 ( 使用已知恒等式證明 )

使用已知恒等式證明下面的恒等式 :

$∑k=0nk2(nk)=n(n+1)2n?2\sum\limits_{k=0}^{n} k^2 \dbinom{n}{k} = n ( n+1 ) 2^{n-2}$

1. 已知恒等式列舉 :

① 遞推式 $1$ : $(nk)=(nn?k)\dbinom{n}{k} = \dbinom{n}{n-k}$
② 遞推式 $2$ : $(nk)=nk(n?1k?1)\dbinom{n}{k} = \dfrac{n}{k} \dbinom{n - 1}{k - 1}$
③ 遞推式 $3$ 帕斯卡 / 楊輝三角公式 : $(nk)=(n?1k)+(n?1k?1)\dbinom{n}{k} = \dbinom{n - 1}{k} + \dbinom{n - 1}{k - 1}$
④ 變下項(xiàng)求和 1 簡(jiǎn)單和 : $∑k=0n(nk)=2n\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k} = 2^n$
⑤ 變下項(xiàng)求和 2 交錯(cuò)和 : $∑k=0n(?1)k(nk)=0\sum_{k=0}^{n} (-1)^k \dbinom{n}{k} = 0$

2. 變下限 : 從 $∑k=0nk2(nk)\sum\limits_{k=0}^{n} k^2 \dbinom{n}{k}$ 開始推導(dǎo) , $k = 0$ 時(shí) , $k2(nk)=0k^2 \dbinom{n}{k} = 0$ , 可以忽略 , 這里可以從 $1$ 開始累加 ;

$∑k=0nk2(nk)=∑k=1nk2(nk)\sum\limits_{k=0}^{n} k^2 \dbinom{n}{k} = \sum\limits_{k=1}^{n} k^2 \dbinom{n}{k}$

使用 $(nk)=nk(n?1k?1)\dbinom{n}{k} = \dfrac{n}{k} \dbinom{n - 1}{k - 1}$ 恒等式替換其中的 $(nk)\dbinom{n}{k}$ :

$\sum\limits_{k=1}^{n} k^2 \dfrac{n}{k} \dbinom{n - 1}{k - 1}$

3. 消去變系數(shù) : 消去一個(gè) $k$ 后 , 變成如下公式 :

$=∑k=1nkn(n?1k?1)=\sum\limits_{k=1}^{n} k n \dbinom{n - 1}{k - 1}$

4. 常量外提 : 其中的 $n$ 相對(duì)于求和來說 , 是一個(gè)常量 , 可以提到求和符號(hào)之外 :

$=n∑k=1nk(n?1k?1)=n\sum\limits_{k=1}^{n} k \dbinom{n - 1}{k - 1}$

5. 變形及拆解 : 在組合數(shù)中有 $(n?1k?1)\dbinom{n - 1}{k - 1}$ , 為了與 $k ? 1$ 進(jìn)行匹配 , 這里將 $k$ 進(jìn)行變形 , $k = (k ? 1) + 1$ , 可以湊出一個(gè) $k ? 1$ 來 ;

$=n∑k=1n[(k?1)+1](n?1k?1)=n\sum\limits_{k=1}^{n} [( k - 1 ) +1] \dbinom{n - 1}{k - 1}$

利用求和公式 , 將上述式子拆解成兩個(gè)和式 ,

$=n∑k=1n(k?1)(n?1k?1)+n∑k=1n(n?1k?1)=n\sum\limits_{k=1}^{n} ( k - 1 ) \dbinom{n - 1}{k - 1} + n\sum\limits_{k=1}^{n} \dbinom{n - 1}{k - 1}$

6. 第一個(gè)組合式轉(zhuǎn)換 : $n∑k=1n(k?1)(n?1k?1)n\sum\limits_{k=1}^{n} ( k - 1 ) \dbinom{n - 1}{k - 1}$ 求和 ,

$k = 1$ 時(shí) , 組合數(shù)的下項(xiàng) , 加和式中的系數(shù) $k ? 1 = 0$ , 將 $k$ 作下限的變換 , $k$ 取值是 $1$ ~ $n$ , 則 $k ? 1$ 取值是 $0$ ~ $(n ? 1)$ ,

相當(dāng)于使用 $k^{'} = k ? 1$ 替代之前的 $k$ , $k^{'}$ 取值范圍 $0$ ~ $(n ? 1)$ ,

因此最終可以變?yōu)? $n∑k′=0n?1(k′)(n?1k′)n\sum\limits_{k'=0}^{n-1} ( k' ) \dbinom{n - 1}{k'}$

使用 $∑k=0nk(nk)=n2n?1\sum\limits_{k=0}^{n} k \dbinom{n}{k} = n 2^{n-1}$ 組合恒等式 ,

上述 $∑k′=0n?1(k′)(n?1k′)\sum\limits_{k'=0}^{n-1} ( k' ) \dbinom{n - 1}{k'}$ 的結(jié)果是 $n-1)2^{n-2}$ ,

前面乘以 $n$ , 最終的 $n∑k′=0n?1(k′)(n?1k′)=n(n?1)2n?2n\sum\limits_{k'=0}^{n-1} ( k' ) \dbinom{n - 1}{k'} = n(n-1)2^{n-2}$

7. 第二個(gè)組合式轉(zhuǎn)換 : $n∑k=1n(n?1k?1)n\sum\limits_{k=1}^{n} \dbinom{n - 1}{k - 1}$ 該組合式中 $k$ 取值是 $1$ ~ $n$ , 將 $k$ 變?yōu)閺? $0$ 開始 , 即使用 $k^{'} = k ? 1$ 替代 $k$ ,

則有 $n∑k′=0n?1(n?1k′)n\sum\limits_{k'=0}^{n-1} \dbinom{n - 1}{k'}$ , 該求和可以轉(zhuǎn)變成基本求和 ,

使用簡(jiǎn)單和組合恒等式 $∑k=0n(nk)=2n\sum\limits_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k} = 2^n$ ,

$∑k′=0n?1(n?1k′)\sum\limits_{k'=0}^{n-1} \dbinom{n - 1}{k'}$ 就是 $2^{n-1}$ , 前面乘以 $n$ , $n∑k=1n(n?1k?1)n\sum\limits_{k=1}^{n} \dbinom{n - 1}{k - 1}$ 就是 $n2^{n-1}$

$=n∑k=1n(k?1)(n?1k?1)+n∑k=1n(n?1k?1)=n\sum\limits_{k=1}^{n} ( k - 1 ) \dbinom{n - 1}{k - 1} + n\sum\limits_{k=1}^{n} \dbinom{n - 1}{k - 1}$

$n(n-1)2^{n-2} + n2^{n-1}$

$=n(n?1)2n?2+n2×2n?2=n(n-1)2^{n-2} + n 2 \times2^{n-2}$

$n(n+1)2^{n-2}$

總結(jié) :
先利用遞推式 , 消掉變系數(shù) $k$ ,
將求和的每個(gè)式子湊成基本求和公式 , 或已知求和公式 ,
然后進(jìn)行求和變限 , 即使用 $k^{'} = k ? 1$ 替換 $k$ ,
通過上述技巧 , 完成證明 ;

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【组合数学】组合恒等式 ( 变下项求和 3 组合恒等式 | 变下项求和 4 组合恒等式 | 二项式定理 + 求导证明组合恒等式 | 使用已知组合恒等式证明组合恒等式 )的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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