一、四元數的定義

四元數是由復數擴展而來：

a+bi?ω+xi+yj+zk

四元數表示為（齊次形式）：

q=(ω,x,y,z)

或者（標量/向量形式）：

q=(ω,v→)

其中：

i2=j2=k2=ijk=?1
ij=k,jk=i,ki=j
ji=?k,kj=?i,ik=?j

二、四元數的相關概念

設兩個四元數為:

p=x1i→+y1j→+z1k→+w1
q=x2i→+y2j→+z2k→+w2

1、四元數和軸-角

設向量n為旋轉軸，θ為繞軸旋轉的量。

q=[cos(θ/2),sin(θ/2)n]=[cos(θ/2),(sin(θ/2)nx,sin(θ/2)ny,sin(θ/2)nz)]

2、負四元數

?q=[?w(?x?y?z)]=[?w?v→]

q和-q代表的位移是相同的。

3、單位四元數

幾何上存在2個單位四元數：[1,0]和[-1,0]。
它們的意義是：當旋轉角為360度的整數倍時，方位并沒有改變，并且旋轉軸也是無關緊要的。

數學上只有一個單位四元數：[1,0]。任意四元數q乘以單位四元數[1,0]仍為q。

4、四元數的模

||q||=||[w,(xyz)]||=w2+x2+y2+z2??????????????√=||[w,v]||=w2+||v||2????????√

幾何意義：

||q||=(cos(θ/2)2+sin(θ/2)2||n||2)??????????????????????√

若n為單位向量，則：||q||=1

5、四元數的共軛

q?=[w?v]=[w(?x?y?z)]

(q?)?=q???(pq)?=q?p????(p+q)?=q?+p????p?p=pp?

6、四元數的逆：

q?1=q?||q||

使用單位四元數，故q?1=q?

幾何解釋：使向量v反向，則旋轉方向也反向了。因此q繞軸旋轉θ角，而q*沿相反的方向旋轉相同的角度。

7、四元數純量部：Scalar(p)

Scalar(p)=w

8、四元數向量部：Vector(p)

Vector(p)=xi+yj+zk

9、四元數符號數：sgn(p)

sgn(p)=pp?

a、四元數輻角：arg(p)

arg(p)=acos(Scalar(p)||p||)

三、四元數的基本運算

1、加減

p±q=(w1±w2)+(x1±x2)i→+(y1±y2)j→+(z1±z2)k→

2、數乘

kp=[k?0]?[w?v]=k[w?v]=[kw?kv]=k[w?(x?y?z)]=[kw?kx?ky?kz]

3、點乘

pq=[w1?n1]?[w2?n2]=w1w2+v1v2

幾何解釋：類似于向量點乘的幾何解釋，兩四元數點乘絕對值越大，其代表的角位移越相似。

4、叉乘

[w1?v1]×[w2?v2]=[w1w2?v1v2?w1v2+w2v1+v2×v1]

滿足結合律，不滿足交換律

p×q=||q||×||q||

(p×q)?1=q?1×p?1

5、對數

單位四元數 ：q=[cos(θ),sin(θ)v→] 對數為：

logq=[0,?θv→]
log[1,(0,0,0)=[0,(0,0,0)]

6、指數

四元數 q=[0,θv→],θ∈R,|v|=1, 其指數為：

expq=[cosθ,sinθv→]

7、冪

單位四元數：q，t∈R, 其冪為:

qt=exp(tlogq)

四、參考

http://www.cnblogs.com/jietian331/p/5671101.html

《新程序員》：云原生和全面數字化實踐50位技術專家共同創作，文字、視頻、音頻交互閱讀

總結

以上是生活随笔為你收集整理的四元数的基本运算的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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