01背包問題具體例子：假設現有容量10kg的背包，另外有3個物品，分別為a1，a2，a3。物品a1重量為3kg，價值為4；物品a2重量為4kg，價值為5；物品a3重量為5kg，價值為6。將哪些物品放入背包可使得背包中的總價值最大？


　　這個問題有兩種解法，動態規劃和貪婪算法。本文僅涉及動態規劃。


　　先不套用動態規劃的具體定義，試著想，碰見這種題目，怎么解決?


　　首先想到的，一般是窮舉法，一個一個地試，對于數目小的例子適用，如果容量增大，物品增多，這種方法就無用武之地了。


　　其次，可以先把價值最大的物體放入，這已經是貪婪算法的雛形了。如果不添加某些特定條件，結果未必可行。


　　最后，就是動態規劃的思路了。先將原始問題一般化，欲求背包能夠獲得的總價值，即欲求前i個物體放入容量為m（kg）背包的最大價值c[i][m]——使用一個數組來存儲最大價值，當m取10，i取3時，即原始問題了。而前i個物體放入容量為m（kg）的背包，又可以轉化成前(i-1)個物體放入背包的問題。下面使用數學表達式描述它們兩者之間的具體關系。


　　表達式中各個符號的具體含義。


　　w[i] : ?第i個物體的重量；


　　p[i] : 第i個物體的價值；


　　c[i][m] ： 前i個物體放入容量為m的背包的最大價值；


　　c[i-1][m] ： 前i-1個物體放入容量為m的背包的最大價值；


　　c[i-1][m-w[i]] ： 前i-1個物體放入容量為m-w[i]的背包的最大價值；


　　由此可得：


　　　　　　c[i][m]=max{c[i-1][m-w[i]]+pi , c[i-1][m]}（下圖將給出更具體的解釋）






?


?


　　　　根據上式，對物體個數及背包重量進行遞推，列出一個表格（見下表），表格來自（http://blog.csdn.net/fg2006/article/details/6766384?reload） ，當逐步推出表中每個值的大小，那個最大價值就求出來了。推導過程中，注意一點，最好逐行而非逐列開始推導，先從編號為1的那一行，推出所有c[1][m]的值，再推編號為2的那行c[2][m]的大小。這樣便于理解。






　　　　

　　　　思路厘清后，開始編程序，C語言代碼如下所示。

#include <stdio.h> int c[10][100]={0};void knap(int m,int n){int i,j,w[10],p[10];for(i=1;i<n+1;i++)scanf("%d,%d",&w[i],&p[i]);for(j=0;j<m+1;j++)for(i=0;i<n+1;i++){if(j<w[i]){c[i][j]=c[i-1][j];continue;}else if(c[i-1][j-w[i]]+p[i]>c[i-1][j])c[i][j]=c[i-1][j-w[i]]+p[i];elsec[i][j]=c[i-1][j];}} int main(){int m,n;int i,j;printf("input the max capacity and the number of the goods:\n");scanf("%d,%d",&m,&n);printf("Input each one(weight and value):\n");knap(m,n);printf("\n");for(i=0;i<=n;i++)for(j=0;j<=m;j++){printf("%4d",c[i][j]);if(m==j) printf("\n");} } 代碼中，紅色字體部分是自己寫的，其余的參照了這篇博客http://blog.sina.com.cn/s/blog_6dcd26b301013810.html

自頂向下

#include <stdio.h> #include <tchar.h> #include <queue> #include "iostream" using namespace std; const int N = 4; const int W = 5; int weight[N] = {2, 1, 3, 2}; int value[N] = {3, 2, 4, 2}; int record[N][W]; void init() { for(int i = 0; i < N; i ++) { for(int j = 0; j < W; j ++) { record[i][j] = -1; } } } int solve(int i, int residue) { if(-1 != record[i][residue]) return record[i][residue]; int result = 0; if(i >= N) return result; if(weight[i] > residue) { record[i + 1][residue] = solve(i+1, residue); } else { result = max(solve(i+1, residue), solve(i+1, residue-weight[i]) + value[i]); } return record[i + 1][residue] = result; } int main() { init(); int result = solve(0, W); cout << result << endl; return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的自顶向下 与自底向上解决01 背包问题的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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