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下面先對小波變換的基本理論進行闡述，再結合程序及運行結果對其更深入地理解。

一、小波變換理論

（一）小波序列

? ? ??(t)∈L^2 (R)，稱?(t)為一個基本的小波和母小波，其中L^2 (R)指均方可積空間。小波一定滿足：

這也是稱之為“小波”的意義。將母函數進行伸縮和平移后，可以得到小波序列：(a,b∈R,a≠0)，其中a,b分別為伸縮因子和平移因子。

（二）連續小波變換及逆變換

? ? ?任意的函數f(t)∈L^2 (R)的連續小波變換為：，記，其中相當于小波變換的系數。可以看出連續小波變換就是信號與小波函數的卷積，小波函數事實上就是信號處理的一個濾波器。其逆變換為：

? ?

? ? ?小波變換實質上將L^2 (R)空間中的任意函數f(t)表示為其在不同伸縮因子和平移因子上的投影的疊加，與傅里葉變換僅將f(t)投影到頻率域不同的是，小波變換將一維時域函數映射到二維“時間-尺度”域上，因此f(t)在小波基上的展開具有多分辨率的特性。通過調整伸縮因子和平移因子，可以得到具有不同時頻寬度的小波以匹配原始信號的任意位置，達到對信號的時頻局部化分析的目的。舉個粗略的例子，就像用鏡頭觀察目標f(t),?(t)代表鏡頭所起的作用，b相當于使鏡頭相對于目標平行移動，a相當于鏡頭向目標推進或遠離，由此可見b僅僅影響時頻窗口在相平面時間軸上的位置，而a不僅影響時頻窗口在頻率軸上的位置，也影響窗口的形狀。這樣小波變換對不同頻率在時域上的取樣步長是可調節的，也就是多分辨率。

（三）離散小波變換及逆變換

? ? ?對參數a,b進行展開后，就得到任意時刻任意精度的頻譜，但是對實際精度來講，計算量太大，所以將其離散化。從理論上可以證明，將連續小波變換成離散小波變換，信號的基本信息并不會丟失。相反由于小波基函數的正交性，使得小波空間中兩點之間因冗余造成的關聯消失，同時由于正交性，使得計算的誤差更小，變換結果“時—頻函數”更能反映信號本身的性質。 離散小波函數表示為： 離散小波系數表示為：
如果，則稱為二進小波。
? ? ? 數學中，函數空間是從集合X到集合Y的給定種類的函數幾何，將平方可積的函數f(t)∈L^2 (R)看成是某一逐級逼近的極限情況，每級逼近都是用某一低通平滑函數?(t)對f(t)做平滑的結果，在逐級逼近時，平滑函數?(t)也做逐級伸縮，這就是所謂的“多分辨率”。將空間逐級二分解：

? ? ?這種剖分方式使得空間與空間正交，即：，任意信號f(t)∈L^2 (R)可用多分辨率分析公式表示為：
式中右邊第一項是f(t)在尺度空間的投影，是f(t)的平滑近似，第二項是f(t)在小波空間的投影，是對f(t)的細節補充。j是任意尺度開始，通常稱為近似值或尺度系數，稱為細節或小波系數。展開系數計算如下：

? ? ?如果展開函數是雙正交基的一部分，上式中的φ和項要分別用他們的對偶函數代替。
? ? 子小波分析中小波函數用于構建坐標系，但是用小波函數來表示一個信號時，它其實是將信號映射在了時頻平面內，所以在實現過程中需要一個頻域的底座和平臺，來讓信號f(t)與之做映射，而且是在一定的頻率分辨率上進行的，這個起到底座的函數就是尺度函數，在尺度函數的平臺下對頻率的分析，或者說對信號的表達就是小波函數的作用了。在濾波實現中，低頻濾波就是尺度函數的作用，小波函數的實現相當于高頻濾波器。

便于理解，舉一個具體的例子：

使用哈爾小波將y=x^2 的小波序列展開，其中哈爾尺度函數為：
哈爾小波函數：

因此展開系數為：

則得到如下的小波序列展開：

二、小波變換實例

? ? ?程序目錄如下：
? ? ?主程序貼出如下： [plain] view plaincopy print?

g?=?imread('3.jpg');??

f?=?rgb2gray(g);??

imshow(f);??

title('原圖');??

[c,s]?=?wavefast(f,1,'sym4');??

figure;wave2gray(c,s,-6);??

title('原圖分解為一個近似圖和3個細節圖');??

[nc,y]?=?wavecut('a',c,s);??

figure;wave2gray(nc,s,-6);??

title('去掉近似圖');??

edges?=?abs(waveback(nc,s,'sym4'));??

figure;imshow(mat2gray(edges));??

title('3個細節圖重構出的原圖像細節');??

g = imread('3.jpg'); f = rgb2gray(g); imshow(f); title('原圖'); [c,s] = wavefast(f,1,'sym4'); figure;wave2gray(c,s,-6); title('原圖分解為一個近似圖和3個細節圖'); [nc,y] = wavecut('a',c,s); figure;wave2gray(nc,s,-6); title('去掉近似圖'); edges = abs(waveback(nc,s,'sym4')); figure;imshow(mat2gray(edges)); title('3個細節圖重構出的原圖像細節');? ? ?其間所用的函數文件若你所安裝的matlab中沒有，可到文中開頭所提及的網址中查找，自行下載或粘貼上。程序正確運行的結果如下：





? ? ? 如上圖所示，經過小波變換，將原灰度圖像f分解為1個近似圖和水平、垂直、對角線方向的細節輪廓圖（均為分解系數構成），若要將這些信息合并成一幅邊緣圖像，可簡單地把生成變換的近似系數設為零，計算它的反變換，即在去掉近似圖的情況下用3個細節圖進行重構，類似的過程也可用于隔離垂直邊緣或水平邊緣。
小波變換的大致原理是這樣，涉及到三維的情況可以與一維類比理解。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的小波变换理论讲解的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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