?信號（signal）經常出現在現代科學中，如果要用數學加以簡單的描述，我想這樣的描述應該是一個比較好的方式：信號是一個定義在一維或則多維空間上的函數。對于任何一個輸入，可以得出一個確定的輸出。以聲音信號為例，它是一個定義在一維空間上的函數，自變量是時間，因變量是聲音的強度。在進行數學處理時，關于信號最基本的問題在于它如何表示和描述。把信號理解成一個定義在時域或空域上的函數是一種很自然的表示方法，但有時候這對理解一段信號的內容來說是不夠的。仍以聲音信號為例，如果把聲音定義為一個在時間上的一維函數，畫出之后它是一段波形圖，包含了這段聲音的全部信息，但如果這段聲音信號是一個樂曲，我們可以用樂譜表示，如果是演講稿我們可以用文字記錄，在某種意義上說這兩種表達方式是等價的。那么這兩種表達方式是不是應該有某種聯系呢？直到十九世紀人們才意識到他們之間存在著一種對偶關系。

? ? 1807年法國數學家傅里葉向巴黎科學院提交了一篇劃時代意義的論文《固體中的熱傳播》，里面提到了一個概念：任何一個函數都可以表達為一系列不同頻率的簡諧振動的（即簡單的三角函數）疊加。這個結論只是論文中的一個副產品。但經過當時著名科學家如拉格朗日、勒讓德等人的審閱，由于其思想的不嚴密而被拒絕，四年之后經過修改的論文才被接受，但仍被拒絕發表在《報告》上，傅里葉對稱耿耿于懷，直到1824年，他做了科學院的秘書才得以把當年的論文發表。

? ???用今天的語言來描述，傅立葉的發現實際上是在說：任何一個信號都可以用兩種方式來表達，一種就是通常意義上的表達，自變量是時間或者空間的坐標，因變量是信號在該處的強度，另一種則是把一個信號「展開」成不同頻率的簡單三角函數（簡諧振動）的疊加，于是這就相當于把它看作是定義在所有頻率所組成的空間（稱為頻域空間）上的另一個函數，自變量是不同的頻率，因變量是該頻率所對應的簡諧振動的幅度。

? ? 這兩個函數一個定義在時域（或空域）上，一個定義在頻域上，看起來的樣子通常截然不同，但是它們是在以完全不同的方式殊途同歸地描述著同一個信號。它們就象是兩種不同的語言，乍一聽完全不相干，但是其實可以精確地互相翻譯。在數學上，這種翻譯的過程被稱為「傅立葉變換」。

傅立葉變換是一個數學上極為精美的對象：

• 它是完全可逆的，任何能量有限的時域或空域信號都存在唯一的頻域表達，反之亦然。

• 它完全不損傷信號的內在結構：任何兩個信號之間有多少相關程度（即內積），它們的頻域表達之間也一定有同樣多的相關程度。

• 它不改變信號之間的關聯性：一組信號收斂到一個特定的極限，它們的頻域表達也一定收斂到那個極限函數的頻域表達。

? ? 傅里葉變換就像是把信號徹底打亂之后以面目全非的方式表達出來，而一切的信息原封不動的存在著。在傅立葉變換的所有這些數學性質中，最不尋常的是這樣一種特性：一個在時域或空域上看起來很復雜的信號（譬如一段聲音或者一幅圖像）通常在頻域上的 表達會很簡單。這里「簡單」的意思是說作為頻域上的函數，它只集中在很小一塊區域內，而很大一部分數值都接近于零。

? ? 這是一個意味深長的事實，它說明一個在空域中看起來占滿全空間的信號，從頻域中看起來很可能只不過占用了極小一塊區域，而大部分頻率是被浪費了的。 這就導出了一個極為有用的結論：一個看起來信息量很大的信號，其實可以只用少得多的數據來加以描述。只要對它先做傅里葉變換，然后只記錄那些不接近零的頻 域信息就可以了，這樣數據量就可以大大減少。

? ? 基本上，這正是今天大多數數據壓縮方法的基礎思想。在互聯網時代，大量的多媒體信息需要在盡量節省帶寬和時間的前提下被傳輸，所以數據壓縮從來都是 最核心的問題之一。而今天幾乎所有流行的數據壓縮格式，無論是聲音的 mp3 格式還是圖像的 jpg 格式，都是利用傅立葉變換才得以發明的。從這個意義上說來，幾乎全部現代信息社會都建立在傅立葉的理論的基礎之上。這當然是傅立葉本人也始料未及的。

? ? 傅立葉變換這種對偶關系的本質，是把一塊信息用徹底打亂的方式重新敘述一遍。正如前面所提到的那樣，一個信號可能在空域上顯得內容豐富，但是當它在 頻域上被重新表達出來的時候，往往就在大多數區域接近于零。反過來這個關系也是對稱的：一個空域上大多數區域接近于零的信號，在頻域上通常都會占據絕大多 數頻率。

? ? 有沒有一種信號在空域和頻域上的分布都很廣泛呢？有的，最簡單的例子就是噪聲信號。一段純粹的白噪聲，其傅立葉變換也仍然是噪聲，所以它在空域和頻 域上的分布都是廣泛的。如果用信號處理的語言來說，這就說明「噪聲本身是不可壓縮的」。這并不違反直覺，因為信號壓縮的本質就是通過挖掘信息的結構和規律 來對它進行更簡潔的描述，而噪聲，顧名思義，就是沒有結構和規律的信號，自然也就無從得以壓縮。

? ? ?另一方面，有沒有一種信號在空域和頻域上的分布都很簡單呢？換句話說，存不存在一個函數，它在空間上只分布在很少的幾個區域內，并且在頻域上也只占用了很少的幾個頻率呢？（零函數當然滿足這個條件，所以下面討論的都是非零函數。）答案是不存在。這就是所謂的 uncertainty principle（不確定性原理）。

? ? 這一事實有極為重要的內涵，但是其重要性并不容易被立刻注意到。它甚至都不是很直觀：大自然一定要限制一個信號在空間分布和頻率分布上都不能都集中在一起，看起來并沒有什么道理啊。

? ? 這個原理可以被盡量直觀地解釋如下：所謂的頻率，本質上反應的是一種長期的全局的趨勢，所以任何一個單一的頻率，一定對應于一個在時空中大范圍存在的信號。反過來，任何只在很少一塊時空的局部里存在的信號，都存在很多種不同的長期發展的可能性，從而無法精確推斷其頻率。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的浅谈傅立叶变换的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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