一般的計算方法教程如文獻[1-5]都會介紹三種常見的迭代法,即Jacobi方法、Gauss-Seidel方法和SOR迭代.由于Gauss-Seidel方法充分利用了迭代過程的新信息[1,2],一般來說,它的迭代效果要比Jacobi方法好.SOR迭代實質上是基于Gauss-Seidel方法的一種松弛加速方法,當松弛因子選擇合適時,SOR迭代可以顯著地提高收斂速度[3-7].對于n階線性方程組Ax=b,如果A的所有對角元非零,記n階單位矩陣為I,Jacobi矩陣-1B=I-diag(aii)A=L+U,L和U分別是嚴格下三角陣和上三角陣,為松弛因子.則有SOR迭代(k)(k-1)x=Sx+(I?L)-1g,(k=1,2,3,…),其中S=(I?L)-1((1-)I+U)稱為SOR迭代矩陣.SOR迭代收斂的充要條件是矩陣譜半徑(S)<1.Kahan[1]已經證明了SOR迭代收斂的必要條件是01)才有意義.最后也構造了一個矩陣例子,表明低松弛方法仍具有存在的價值.1定義與引理以下定義1與引理1參見文獻[2],引理2與引理3及引理4參見文獻[1].定義1設A為n階非奇異方陣,且A=M-N.如果M?10,N0,則稱A=M-N是矩陣A的一個正則分解.引理1設A=M-N是矩陣A的一個正則分解,如果A?10,則(M?1N)<1.引理2設A是不可約矩陣且對應的Jacobi矩陣B非負,則當(B)<1時,對某個不小于1的?,關于的函數(S)在區間(0,?]上是嚴格單調降的.引理3設矩陣A具有相容次序,其對應的Jacobi矩陣B特征值全部為實數,則當=(B)<1時,(S)=1-+1222+1?+1422,這里01.522254245??A=?函數圖形為圖4.=1.0928,opt=1.1802,b不是實數.最后,我們再給出一個Gauss-Seidel方法不收斂,但通過低松弛方法能夠收斂的例子.例5矩陣A對應的(S1)>1但存在松弛因子(0,1)使得(S)<1.422142255A=?????---?????函數圖形為圖5.(S1)=1.04564,=0.9088,opt=0.8222且(Sopt)=0.245.因此此例中的最佳低松弛方法的收斂速度遠低于Jacobi方法和Gauss-Seidel方法的收斂速度.以上數例反映(S)與松弛因子的關系的圖形與相關數據,直觀反映了定理1和定理2的結論以及上節關于對稱正定矩陣的猜想,說明了一般情況下對SOR迭代不必使用低松弛方法,即超松弛方法(>1)才有意義.另外,用計算b的公式求opt必須是在滿足定理3的條件下方可成立.SwHL10.80.60.40.20.511.52wSwHL10.80.40.60.20.511.52wSwHL0000....248610.511.52w圖1圖2圖3SwHL10.20.511.52w00..640.8SwHL10.80.40.60.20.511.52w圖4圖5基于MATLAB的一類迭代分析@潘朝毅$四川教育學院數學系!四川成都610041

@譚啟建$四川教育學院數學系!四川成都610041SOR迭代法收斂的必要條件是01)才有意義.迭代分析;;SOR;;Gauss-Seidel;;Jacobi;;MATLAB[1]STOERJ,BULIRSCHR.IntroductiontoNumericalAnalysis[M].NewYork:Springer-Verlag,1980.

[2]蔡大用.數值代數[M].北京:清華大學出版社,1987.

[3]李慶揚,易大義,王能超.現代數值分析[M].北京:高等

《新程序員》：云原生和全面數字化實踐50位技術專家共同創作，文字、視頻、音頻交互閱讀

總結

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