抽樣分布：

• χ2 分布
• t 分布
• F 分布

樣本是進行統計推斷（statistic inference）的依據。在應用時，往往不是直接使用樣本本身，而是針對不同的問題構造樣本的適當函數，利用這些樣本的函數進行統計推斷。

1. 常用統計量

設 X1,X2,…,Xn 是來自總體 X 的一個樣本，g(X1,X2,…,Xn) 是 X1,X2,…,Xn 的函數，若 g(?) 中不含未知參數，則稱 g(X1,X2,…,Xn)（函數）是一個統計量。

• 統計量是關于所抽樣樣本 X1,X2,…,Xn 的函數；
• 因為 X1,X2,…,Xn 都是隨機變量，統計量 g(X1,X2,…,Xn) 是隨機變量的函數，因此統計量也是隨機變量；
• 統計量的分布稱為抽樣分布；

設 x1,x2,…,xn 是相應于樣本 X1,X2,…,Xn 的樣本值，則稱 g(x1,x2,…,xn) 是 g(X1,X2,…,Xn) 的觀察值。

2. 常見統計量

下面列出幾個常用的統計量，設 X1,X2,…,Xn 是來自總體 X 的一個樣本，x1,x2,…,xn 是這一樣本的觀察值。

• 樣本均值：Xˉ=1n∑ni=1Xi
• 樣本方差：S2=1n?1∑ni=1(Xi?Xˉ)2=1n?1(∑ni=1X2i?nXˉ2)
• 樣本標準差：S=1n?1∑ni=1(Xi?Xˉ)2????????????????√
• 樣本的 k 階原點矩（Xk=Xk?0）：Ak=1n∑ni=1Xki
• 樣本的 k 階中心矩：Bk=1n∑ni=1(Xi?Xˉ)k

3. χ2 分布

設 X1,X2,…,Xn 是來自總體 N(0,1) 的樣本，則稱統計量：

χ2=X21+X22+…+X2n
服從自由度為 n 的 χ2 分布，記為 χ2～χ2(n)；

χ2 分布的可加性：

• χ21～χ2(n1),χ22～χ2(n2)，且二者相互獨立 ? χ21+χ22～χ2(n1+n2)

χ2 分布的數學期望和方差，若 χ2～χ2(n)，則有 E(χ2)=n,D(χ2)=2n

Xi～N(0,1)，則有 E(X2i)=D(Xi)=1，D(X2i)=E(X4i)?(E(X2i))2=3!!?1=2，所以有，

3. χ2 分布的分位點

對于給定的正數 α，0<α<1，稱滿足條件：

P{χ2>χ2α(n)}=α=∫∞χ2α(n)f(y)dy

的點 χ2α(n) 位 χ2(n) 分布的上 α 分位點。

4. 例題

• 設 X1,X2,X3,X4 是來自正態整體 N(0,22) 的簡單隨機樣本，記 Y=a(X1?2X2)2+b(3X1?4X2)2，已知 a,b 為常數，且 Y～χ2(n)，則 n=?：

  χ2(n) 分布要求是多個標準正態分布的加和（至少是一個），X1?2X2～N(0,20),3X1?4X2～N(0,100)，因此 X1?2X220√～N(0,1)，3X1?4X210～(0,1)：

  • a=120，b=1100 ? n = 2
  • a=120,b=0 或者 a=0,b=1100，n ? 1

轉載于:https://www.cnblogs.com/mtcnn/p/9424130.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的抽样分布与统计推断的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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