簡述

復習一下概率論大數定理的證明。
證明大數定理，需要先證明切比雪夫（Chebyshev）不等式。

Chebyshev不等式證明

定理 設隨機變量X具有數學期望$E(x)=\mu$，方差為$D(x)={\sigma }^2$，則對任意正數$\epsilon$，不等式
$$P\{|X?\mu |\ge \epsilon \}\le \frac{{\sigma }^2}{{\epsilon }^2}$$
成立。 這就是chebyshev不等式

證明： 只需要考慮連續變量的情況，離散情況將積分替換為累積求和即可。
$$\begin{gathered} P\{|X?\mu |\ge \epsilon \}={\int }_{|X?\mu |\ge \epsilon }f(x)dx\le {\int }_{|X?\mu |\ge \epsilon }\frac{|X?\mu {|}^2}{{\epsilon }^2}f(x)dx\le \\ \frac{1}{{\epsilon }^2}{\int }_{}|X?\mu {|}^{2}f(x)dx=\frac{{\sigma }^2}{{\epsilon }^2} \end{gathered}$$

得證。

大數定理證明

定理 設隨機變量$X_1,X_1,...,X_n$ i.i.d(independent and identically distributed 獨立同分布)，具有數學期望$E(x)=\mu$，方差為$D(x)={\sigma }^2$，樣本均值$\bar{x}$，則對任意正數$\epsilon$
$$\underset{n\to \infty }{\lim }P\{|\bar{x}?\mu |\ge \epsilon \}=0$$
成立。 這就是大數定理

證明：

• 樣本均值的均值 $E(\bar{x})=\mu$
• 樣本均值的方差 $Var(\bar{x})=\frac{{\sigma }^2}{n}$
  由切比雪夫不等式有，

$$P\{|\bar{x}?\mu |\ge \epsilon \}\le \frac{var(\bar{x})}{{\epsilon }^2}=\frac{{\sigma }^2}{n?{\epsilon }^2}$$
得證。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【笔记】大数定理证明的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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