一，卷積公式：

• 已知：，
• 設：
• 求：
• 因為拉氏變換是由冪級數變過來的，所以上面的問題可以轉換為下面的問題方便計算：

已知：，

設：

求：，（求解過程省略）

• 解得卷積公式：
• 文字解讀：兩個函數的乘積，等于分別將它們變換后的乘積，再逆變換的結果，由于被變換卷在了一起，因此稱為卷積。
• 滿足交換律：

二，例1：

• 求：
• 代入卷積公式：
• 驗證：

因為：，，

所以：

三，例2：

• 求：，（）
• 代入卷積公式：

四，證明卷積公式：

• 設：，
• 利用二重積分性質：把和看成矩形的兩條邊，是矩形的面積。如下：
• 令：，，，并代入下式：

利用雅克比行列式將轉變為：

二重積分后半部分變為：

• 二重積分的積分限變為：如下圖：
• 積分線從進，從出，得du的上下限；積分面從進，出，得dt的上下限
• 總結：
• 得到卷積公式：

五，應用（建立數學模型）：

• 有一種放射性物質被工廠傾倒，傾倒速率是，表示時刻，此時的傾倒量是，（表示時間段，從到一共可分為段）
• 問題：當工廠從時開始傾倒，到時為止，放射性物質一共有多少量？
• 難點：放射性物質被傾倒后會隨時間衰變，假設物質的初始量是，衰變了時長后，剩下來的量是，取決于材料性質，這就是放射性衰變定律。
• 建立數學模型：
• 使：，（把看成公式的，把看成公式的）
• 同理：假如傾倒的不是放射性物質，只是垃圾，那么衰減率，求量的結果是
• 同理：假如物質是以的速率增長，求量的結果是

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的第二十一讲 卷积公式的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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