UA MATH524 復變函數17 留數定理

留數定理 假設$D$是一個單連通開集，$f$在$D$上除孤立奇點$\{z_1,?,z_N\}$外的區域上解析，假設$\gamma$是正向分段平滑簡單封閉曲線，則
$${\int }_{\gamma }f(z)dz=2\pi i\sum _{\text{all}{z}_k\text{inside}\gamma }Res(f;z_k)$$

也就是說解析函數沿簡單封閉曲線的積分等于解析函數在曲線圍成區域內的孤立奇點處的留數
$$Res(f;z_k)=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{|w?z_k|=s}f(w)dw$$

證明 用${\gamma }_1,?,{\gamma }_N$表示以$z_1,?,z_N$為中心的正向的圓，且它們互相無交，用$\Omega$表示$\gamma$與$?{\gamma }_1,?,?{\gamma }_N$圍成的區域，不妨假設$z_1,?,z_n\in \Omega$，因為$f$在$\Omega$上解析，用Green定理，
$${\int }_{\gamma }fdz?\sum _{k=1}^n{\int }_{{\gamma }_k}fdz=0$$

其中
$${\int }_{{\gamma }_k}fdz=2\pi iRes(f;z_k)$$

所以
$${\int }_{\gamma }fdz=2\pi i\sum _{\text{all}{z}_k\text{inside}\gamma }Res(f;z_k)$$

---

有理函數在實數軸上的積分 假設$P,Q$是兩個多項式函數，它們在實數軸上的值為實數，$Q(x)=0,?x\in \mathbb{R}$，$\text{deg}(Q)\ge \text{deg}(P)+2$，則
$${\int }_{?\infty }^{+\infty }\frac{P(x)}{Q(x)}dx=2\pi i\sum _{z_j\in U}Res(P/Q;z_j)$$

其中$U=\{z:Im[z]>0\}$。

證明

記${\gamma }_R$為上圖所示的封閉曲線，它由實數軸上$?R$到$R$的線段與$R$到$?R$的上半圓弧組成，根據留數定理，
$${\int }_{{\gamma }_R}\frac{P}{Q}dz={\int }_{?R}^R\frac{P(x)}{Q(x)}dx+{\int }_{|z|=R,z\in U}\frac{P}{Q}dz=2\pi i\sum _{|z_j|<R,z_j\in U}Res(P/Q;z_j)$$

記$n=\text{deg}(P)$，$m=\text{deg}(Q)$，$P$和$Q$的首項系數記為$a_n$，$b_m$
$$\left|\frac{P(z)}{Q(z)}\right|\le \frac{2|a_n|R^n}{\frac{1}{2}|b_m|R^m}\le \frac{4|a_n|}{|b_m|}{R}^{?2}$$

因此
$$\left|{\int }_{|z|=R,z\in U}\frac{P}{Q}dz\right|\le \frac{4|a_n|}{|b_m|}{R}^{?2}?(\pi R)=\frac{4\pi |a_n|}{|b_m|R}$$

現在讓$R\to \infty$，則${\int }_{|z|=R,z\in U}\frac{P}{Q}dz$收斂到0，并且
$${\int }_{?\infty }^{+\infty }\frac{P(x)}{Q(x)}dx=2\pi i\sum _{z_j\in U}Res(P/Q;z_j)$$

評注 對于多項式函數$P$，假設$n=\text{deg}(P)$，首項系數為$a_n$，假設$R$是一個非常大的數，$?M>0$, $R>M$，則
$$\frac{1}{2}|a_n|R^n\le |P(z)|\le 2|a_n|R^n$$

積分的絕對值的估計用的是
$$\left|{\int }_{\gamma }f(z)dz\right|\le (\underset{z\in \gamma }{\max }|f(z)|)?\text{length}(\gamma )$$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的UA MATH524 复变函数17 留数定理的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。