UA OPTI512R 傅立葉光學導論14 Wiener-Khinchine定理，Rayleigh定理與矩定理

• • Wiener-Khinchine定理
  • Rayleigh定理
  • 矩定理

Wiener-Khinchine定理

定義 考慮$f(x)$與$g(x)$兩個波形，用下面的相關性函數衡量它們之間的相似性，
$$r_{fg}={\int }_{?\infty }^{+\infty }f(\alpha )g^{?}(\alpha ?x)d\alpha$$

如果$f=g$，稱$r_{ff}$為自相關函數。

評注 需要注意的是這個定義與卷積是有區別的，卷積的定義是
$$f?g={\int }_{?\infty }^{+\infty }f(\alpha )g^{?}(x?\alpha )d\alpha ={\int }_{?\infty }^{+\infty }f(x?\alpha )g^{?}(\alpha )d\alpha$$

做簡單的變量代換（比如$\beta =\alpha ?x$）就可以驗證第二個等號成立。根據二者不同的定義，卷積滿足對稱性$f?g=g?f$，而相關性函數$r_{fg}$滿足共軛對稱性，
$$r_{fg}(x)=r_{gf}^{?}(?x)$$

代入定義即可驗證：
$$r_{gf}^{?}(?x)={\int }_{?\infty }^{+\infty }{f}^{?}(\alpha )g(\alpha +x)d\alpha ={\int }_{?\infty }^{+\infty }{f}^{?}(\beta ?x)g(\beta )d\beta =r_{fg}(x)$$

由此也可以發現相關性函數可以用卷積表示，
$$r_{fg}=f^{?}(?x)?g(x)$$

對于自相關函數，$|r_{ff}(x)|\le |r_{ff}(0)|$，從直觀上解釋，$x$的作用是讓我們要比較的兩列$f(x)$波形中的其中一列做平移后再和另一列比較相似性，這樣得出的相似性肯定是比完全一樣的兩列$f(x)$波形更弱的。

Wiener-Khinchine定理 波形$f(x)$的自相關函數$r_{ff}(x)$的Fourier變換等于波形$f(x)$的功率譜密度(power spectrum density, PSD)。用公式表達就是：記$F(\xi)=\mathcal{F}[f(x) ] $，則
$$\mathcal{F}[r_{ff}(x)]=|F(\xi ){|}^2$$

證明
方法一：卷積定理，
$$\mathcal{F}[r_{ff}(x)]=\mathcal{F}[f^{?}(?x)?f(x)]=F^{?}(?(?\xi ))F(\xi )=|F(\xi ){|}^2$$

方法二：直接計算，
$$\begin{array}{rl}\mathcal{F}[r_{ff}(x)]& ={\int }_{?\infty }^{+\infty }\left({\int }_{?\infty }^{+\infty }f(\alpha )f^{?}(\alpha ?x)d\alpha \right)e^{?j2\pi \xi x}dx\\ & ={\int }_{?\infty }^{+\infty }f(\alpha )\left({\int }_{?\infty }^{+\infty }{f}^{?}(\alpha ?x)e^{?j2\pi \xi x}dx\right)d\alpha \\ & ={\int }_{?\infty }^{+\infty }f(\alpha )e^{?j2\pi \xi \alpha }{F}^{?}(\xi )d\alpha =F(\xi )F^{?}(\xi )=|F(\xi ){|}^2\end{array}$$

應用 FTIR spectroscopy

Wiener-Khinchine定理的一個重要應用是FTIR spectroscopy（Fourier transform infrared spectroscopy），它可以用來得到物質的吸收光譜，簡易示意圖如上，它由五部分組成，正下方是一個紅外發射器，正上方是一個固定的反射鏡，正右方是一個可以平移的反射鏡，正左方放置待分析的樣本以及紅外傳感器，正中是一個分光鏡。假設發射器產生的電場為$E(x_0,t)$，在$\Delta$后一部分光經過分光鏡反射穿過樣本到達傳感器，再過$\tau$后，透過分光鏡的光被反射鏡反射后再次通過分光鏡，部分被反射最終到達傳感器，于是兩次到達傳感器的光自相關函數為
$$r_{EE}(\tau )={\int }_{?\infty }^{+\infty }E(x_0,t+\Delta )E^{?}(x_0,t+\Delta +\tau )dt$$

在$\tau$時間內，傳感器接收到的光強為
$$\begin{array}{rl}I(\tau )& =|E(x_0,t+\Delta )+E^{?}(x_0,t+\Delta +\tau ){|}^2\\ & =|E(x_0,t+\Delta ){|}^2+|E^{?}(x_0,t+\Delta +\tau ){|}^2\\ & +2Re[E(x_0,t+\Delta )E^{?}(x_0,t+\Delta +\tau )]\end{array}$$

$\tau$足夠小時，前兩項為常數，第三項與$r_{EE}(\tau )$成正比，于是基于光強信息，將其與發射器的頻譜對比我們就可以得到樣本的吸收譜。

Rayleigh定理

Rayleigh定理 在時域與頻域中計算某列波的能量，得到的結果相同。用數學公式表示，假設$f(x)$表示一個波形，它的Fourier變換是$F(\xi )$，則
$$E={\int }_{?\infty }^{+\infty }|f(x){|}^{2}dx={\int }_{?\infty }^{+\infty }|F(\xi ){|}^{2}d\xi$$

證明
$$\begin{array}{rl}{\int }_{?\infty }^{+\infty }|f(x){|}^{2}dx& ={\int }_{?\infty }^{+\infty }f(x)f^{?}(x)dx\\ & ={\int }_{?\infty }^{+\infty }\left[{\int }_{?\infty }^{+\infty }F({\xi }_1)e^{j2\pi {\xi }_{1}x}d{\xi }_1\right]{\left[{\int }_{?\infty }^{+\infty }F({\xi }_2)e^{j2\pi {\xi }_{2}x}d{\xi }_2\right]}^{?}dx\\ & ={?}_{?\infty }^{+\infty }F({\xi }_1)F^{?}({\xi }_2)\left[{\int }_{?\infty }^{+\infty }{e}^{j2\pi ({\xi }_1?{\xi }_2)x}dx\right]d{\xi }_{1}d{\xi }_2\\ & ={?}_{?\infty }^{+\infty }F({\xi }_1)F^{?}({\xi }_2)\delta ({\xi }_1?{\xi }_2)d{\xi }_{1}d{\xi }_2\\ & ={\int }_{?\infty }^{+\infty }F({\xi }_1)F^{?}({\xi }_1)d{\xi }_1={\int }_{?\infty }^{+\infty }|F(\xi ){|}^{2}d\xi \end{array}$$

解釋 第二個等號用Fourier逆變換，第三個等號用Fubini定理，第四個等號用Dirac函數的Fourier變換，第五個等號用Dirac函數的sifting property。這里稱${\int }_{?\infty }^{+\infty }|f(x){|}^{2}dx$為能量，可以用電場類比，假設$f=\text{E}$，$x=(\text{r},t)$，則$|f(x){|}^2$就是電場的能量密度，在四維時空中對位移與時間求積分之后就是能量了。另外，這個定理與Parseval定理一樣，都表示在對波形做時域和頻域之間的轉換時，波所攜帶的能量是守恒的。Parseval定理討論的是周期性的波，假設$f(x)$的Fourier級數展開系數為$\{c_n\}$，周期為$T$，則Parseval定理為
$$\frac{1}{T}{\int }_{?T/2}^{T/2}|f(x){|}^{2}dx=\sum _{n=?\infty }^{+\infty }|c_n{|}^2$$

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矩定理

矩的定義
對于波形$f(x)$，稱$m_n$是它的$n$階矩，其中$n$是非負整數，
$$m_n={\int }_{?\infty }^{+\infty }{x}^{n}f(x)dx$$

比如0階矩：
$$m_0={\int }_{?\infty }^{+\infty }f(x)dx$$

1階矩：
$$m_1={\int }_{?\infty }^{+\infty }xf(x)dx$$

2階矩：
$$m_2={\int }_{?\infty }^{+\infty }{x}^{2}f(x)dx$$

矩與Fourier變換的聯系 假設$f(x)$的Fourier變換為$F(\xi )$，即
$$\begin{array}{rl}F(\xi )& ={\int }_{?\infty }^{+\infty }f(x)e^{?j2\pi \xi x}dx\\ F^{(n)}(\xi )& ={\int }_{?\infty }^{+\infty }(?j2\pi x{)}^{n}f(x)e^{?j2\pi \xi x}dx\\ F^{(n)}(0)& =(?j2\pi {)}^n{\int }_{?\infty }^{+\infty }{x}^{n}f(x)dx=(?j2\pi {)}^n{m}_n\end{array}$$

所以
$$m_n=\frac{F^{(n)}(0)}{(?j2\pi {)}^n}$$

例：$f(x)=sinc(x)$，則
$$m_0=\frac{F^{(0)}(0)}{(?j2\pi {)}^0}=rect(0)=1$$

矩與Heisenberg不確定性原理的聯系
對于波形$f(x)$，$m_1$的作用是衡量波的“中心”，$m_2$的作用是是衡量波的分散程度，$m_2?m_1^2$表示波形相對其中心的分散程度，而它的平方根$\sqrt{m_2?m_1^2}$就被稱為這個波形的不確定性，記為$\Delta f$；假設$f$與$g$表示兩個可以觀測的物理量，則
$$\Delta f?\Delta g\ge \frac{|m_1(fg?gf)|}{2}$$

其中$m_1(fg?gf)$表示$fg?gf$的1階矩，這個式子被稱為廣義不確定性原理，這個式子說明同時觀測多個物理量時，它們的不確定性的乘積存在一個下界，于是當其中一個物理量在以$x$為坐標的坐標系下取值比較集中（不確定性非常小）時，其他物理量在以$x$為坐標的坐標系下取值一定會比較分散（不確定性非常大）。

總結

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