UA OPTI501 電磁波8 習題課：麥克斯韋方程邊界條件的推導

• • 邊界條件的含義
  • 用Maxwell方程推導邊界條件

Maxwell Macroscopic Equations:
$$\begin{gathered} ??\text{D}={\rho }_{free} \\ ?\times \text{H}={\text{J}}_{free}+\frac{?}{?t}\text{D} \\ ?\times \text{E}=?\frac{?}{?}\text{B} \\ ??\text{B}=0 \end{gathered}$$

其中
$$\begin{gathered} {\rho }_{total}={\rho }_{free}???\text{P} \\ {\text{J}}_{total}={\text{J}}_{free}+\frac{?}{?t}\text{P}+\frac{1}{{\mu }_0}?\times \text{M} \end{gathered}$$

邊界條件的含義

假設(shè)空間中存在兩種介質(zhì)，這兩種介質(zhì)將區(qū)域分割為兩部分，介質(zhì)1對應區(qū)域就用下標1區(qū)分，介質(zhì)2對應區(qū)域就用下標2區(qū)分，如(a)圖所示，假設(shè)立方體中的曲面就是兩種介質(zhì)交界面，在界面上取${\text{r}}_0$這一點，過這一點畫一根非常短的線，其中一端進入介質(zhì)1區(qū)域，到達${\text{r}}_1$，另一端進入介質(zhì)2區(qū)域，到達${\text{r}}_2$，假設(shè)${\text{r}}_2?{\text{r}}_1$是一個非常小的矢量。邊界條件的含義就是尋找${\text{E}}_{||},{\text{H}}_{||},{\text{D}}_{\perp },{\text{B}}_{\perp }$在${\text{r}}_1$點與在${\text{r}}_2$點的關(guān)系，其中下標$||$表示矢量的平行分量（平行于交界面），$\perp$表示矢量的垂直分量（垂直于交界面）。根據(jù)邊界條件可以判斷出電磁場經(jīng)過介質(zhì)交界面時是否是連續(xù)變化的。

另外(b)圖是用Maxwell方程推導邊界條件的重要輔助圖，對于場的散度，可以用一個非常小的柱體面作為高斯面，用高斯定理進行推導；對于場的散度，可以用一個非常小矩形作為安培環(huán)路，用Stokes公式進行推導。

用Maxwell方程推導邊界條件

電位移的邊界條件
使用Maxwell方程1：
$$??\text{D}={\rho }_{free}$$

這是關(guān)于場的散度的，所以我們用能包圍${\text{r}}_0$的非常小的柱體面作為高斯面，并且這個柱體面上下底與${\text{r}}_2?{\text{r}}_1$平行，${\text{r}}_1$位于下底面，${\text{r}}_2$位于上底面，對這個柱體使用Gauss定理，并假設(shè)柱體的高小到可以忽略不計，則電位移的平行分量不會貢獻通量，所以有
$${\int }_V??\text{D}dV={\oint }_S\text{D}?\hat{n}dS={\text{D}}_{\perp }({\text{r}}_2,t)S_{底面}?{\text{D}}_{\perp }({\text{r}}_1,t)S_{底面}$$

而且
$${\int }_V{\rho }_{free}dV={\sigma }_{free}({\text{r}}_0,t)S_{底面}$$

綜上，
$${\text{D}}_{\perp }({\text{r}}_2,t)?{\text{D}}_{\perp }({\text{r}}_1,t)={\sigma }_{free}({\text{r}}_0,t)$$

也就是說，當電磁場經(jīng)過介質(zhì)交界面時，位于界面上的電荷發(fā)生電極化現(xiàn)象，使經(jīng)過界面后電位移的垂直分量以界面電荷面密度的大小發(fā)生躍變。

磁場的邊界條件
使用Maxwell方程2，
$$?\times \text{H}={\text{J}}_{free}+\frac{?}{?t}\text{D}$$

這是關(guān)于場的旋度的，所以我們用能包圍${\text{r}}_0$的非常小的矩形作為輔助環(huán)路，并且這個矩形上下長邊與${\text{r}}_2?{\text{r}}_1$平行，${\text{r}}_1$位于下長邊，${\text{r}}_2$位于上長邊，矩形的外法線為$$\hat{n}=\frac{{\text{r}}_2?{\text{r}}_1}{|{\text{r}}_2?{\text{r}}_1|}$$對這個矩形使用Stokes定理，并假設(shè)矩形的短邊小到可以忽略不計，從而使磁場的垂直分量不起作用，則
$$\begin{gathered} {\int }_S?\times \text{H}?\hat{n}dS={\oint }_L\text{H}?d\text{L}={\text{H}}_{||}({\text{r}}_2,t)L_{長邊}?{\text{H}}_{||}({\text{r}}_1)L_{長邊} \\ ={\text{J}}_{free}({\text{r}}_0,t)\times \hat{n}{L}_{長邊} \end{gathered}$$

所以
$${\text{H}}_{||}({\text{r}}_2,t)?{\text{H}}_{||}({\text{r}}_1)={\text{J}}_{free}({\text{r}}_0,t)\times \hat{n}$$

這個關(guān)系直接用安培定律也可以得到，方法可以參考UA PHYS515A 電磁理論III 靜磁學問題3 靜磁學問題的邊界條件與標量勢方法的應用。

電場的邊界條件

用Maxwell方程3，方法與第二個類似，結(jié)論為
$${\text{E}}_{||}({\text{r}}_2,t)?{\text{E}}_{||}({\text{r}}_1,t)=0$$

磁感應強度的邊界條件
用Maxwell方程4，方法與第一個類似，結(jié)論為
$${\text{B}}_{\perp }({\text{r}}_2,t)?{\text{B}}_{\perp }({\text{r}}_1,t)=0$$

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的UA OPTI501 电磁波8 麦克斯韦方程边界条件的推导的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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