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UA OPTI570 量子力学2 物质波与物质粒子

發布時間：2025/4/14 编程问答 33 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了 UA OPTI570 量子力学2 物质波与物质粒子小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

UA OPTI570 量子力學2 物質波與物質粒子

- de Broglie relations
- 波函數與Schroedinger方程

de Broglie relations

在光子被發現的同一時期，關于原子放射與吸收譜的研究發現原子只有在釋放或者吸收一個光子的時候才會有比較確定的頻率（根據Planck-Einstein relations，也就是有比較確定的能量），如果接受“the energy of atom is quantized”這個說法，上面的現象就比較好解釋了。這個時候原子的能量取值為 ${Ei,i=1,?,n}\{E_i,i=1,\cdots,n\}$ ，釋放或者吸收一個光子如果造成原子的能量從 $E_i$ 躍遷到 $E_j$ ，那么這個光子的頻率應該滿足
$hνij=∣Ei?Ej∣h\nu_{ij} = |E_i-E_j|$

離散能階的存在是由Franck-Hertz實驗證明的，Bohr將這種現象解釋為電子軌道（原子中的電子在一些固定的軌道上繞原子核運動，半徑越小的軌道能量越低），并與Sommerfeld一起提出了計算氫原子的電子軌道的經驗法則。1923年，de Broglie提出了物質粒子（就是指能組成物質的粒子，比如電子就是，它與原子核構成原子，不同原子結合形成分子，各種各樣的分子組成物質）有類似波粒二象性的的假說：material particles, just like photons, can have a wavelike aspect，基于這個假說他成功推導出了Bohr-Sommerfeld法則。1927年，Davisson和Germer的Electron Diffraction Experiment證明了物質波的存在。

于是物質粒子也有與光子類似的波粒二象性，它的粒子性與波動性也會滿足Planck-Einstein Relations：
$\hbar w \\ \textbf p = \hbar \textbf k$

因為波數與波長之間滿足 $λ=2π/∣k∣\lambda =2\pi/|\textbf k|$ ，所以物質波的波長與物質粒子的動量之間滿足：
$λ=h∣p∣\lambda = \frac{h}{|\textbf p|}$

這個關系被稱為de Broglie Relation。我們知道普朗克常數是非常小的，所以物質波的波長在宏觀層面幾乎不可能觀察到：

簡單考慮一下一維問題，de Broglie Relation為
$λ=hp\lambda = \frac{h}{p}$

假設有一個灰塵顆粒，直徑為 $1μ1\mu$ ，質量為 $10^{-15}kg$ ，運動速度為 $1 m m / s$ ，那么它的物質波波長為
$λ=6.6×10?3410?15×10?3meter=6.6×10?16meter<<1μ\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{10^{-15} \times 10^{-3}}meter = 6.6 \times 10^{-16}meter << 1\mu$

也就是說物質波的波長相比灰塵顆粒自身的尺度都可以忽略不計。

波函數與Schroedinger方程

既然物質波是存在的，物質粒子也有與光子類似的波粒二象性，那么代表物質粒子時空分布概率幅（probability amplitude）的波函數應該如何構造？我們可以類比光子的波函數，給出下面的結論：

用

ψ(r,t)\psi(\textbf r,t)

表示物質粒子的波函數，它代表物質粒子在特定時間，特定空間位置的分布信息；

波函數

ψ(r,t)\psi(\textbf r,t)

同樣表示概率幅，物質粒子在時間

t

出現在空間位置

r\textbf r

的概率密度是

∣ψ(r,t)∣2|\psi(\textbf r,t)|^2

，用

P(r,t)\mathcal{P}(\textbf r,t)

代表概率分布，則

dP(r,t)∝∣ψ(r,t)∣2d3rd\mathcal{P}(\textbf r,t) \propto |\psi(\textbf r,t)|^2 d^3 \textbf r

因為概率分布滿足歸一性，所以

dP(r,t)=∣ψ(r,t)∣2d3r∫∣ψ(r,t)∣2d3rd\mathcal{P}(\textbf r,t) = \frac{|\psi(\textbf r,t)|^2 d^3 \textbf r}{\int |\psi(\textbf r,t)|^2 d^3 \textbf r}

波函數滿足量子的譜分解原則：物質粒子存在一系列本征態

{a\}

，如果在

t_0

它的波函數為

ψa(r)\psi_a(\textbf r)

就稱它此時處于本征態

a

，知道了所有的本征態與本征態下的波函數后可以把波函數分解為

ψ(r,t0)=∑acaψa(r)\psi(\textbf r,t_0)=\sum_a c_a \psi_a(\textbf r)

并且本征態

a

出現的概率為

∣ca∣/∑a∣ca∣2|c_a|/\sum_a |c_a|^2

波函數的形式由Schroedinger方程給出：

i???tψ(r,t)=??22mΔψ(r,t)+V(r,t)ψ(r,t)i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\psi(\textbf r,t)=-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta \psi(\textbf r,t)+V(\textbf r,t)\psi(\textbf r,t)

其中

Δ\Delta

是Laplace算子，

Δ=???\Delta=\nabla \cdot \nabla

，

m

代表粒子的質量，

V(r,t)V(\textbf r,t)

代表它的potential；關于Schroedinger方程的驗證與應用放在后續內容中，這里只作為相關結果先放在這里。

波函數的意義是決定了粒子的量子態（quantum state），在經典力學中，決定一個粒子給定時刻狀態的是 $r,r˙\textbf r,\dot{\textbf r}$ 這兩個矢量，知道了這兩個矢量就可以確定粒子在此刻的運動狀況；但在量子力學中，一個粒子的運動分布是隨機的，所以描述其狀態需要概率幅，或者說波函數。

雖然我們根據物質粒子與光子的相似點總結了一些波函數的性質，但實際上在非相對論量子力學的范疇中，物質粒子不能被創造也不能被毀滅，也就是比起光子多了一條守恒律可以用，這里介紹量子力學一般就默認非相對論量子力學了，對物質粒子可以被毀滅（比如用一個Positron碰撞一個電子，電子被消滅并放出光子）之類的情況感興趣的同學可以去看相對論量子力學。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的UA OPTI570 量子力学2 物质波与物质粒子的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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